Sujet 3 - Exercice 1

Par hypothèse, $$f$$ est une fonction continue de l'intervalle réel $$[a \,;\,b]$$ dans $$\mathbb{C}$$. De plus, on note $$\theta = \arg \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)$$, donc on a :
$$\int_a^b f(x) \, dx = r e^{i \theta} \,\,\, (r \in \mathbb{R}^+)$$
Ainsi :
$$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| = r$$
Et :
$$r = e^{-i \theta} \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b e^{-i \theta} f(x) \, dx = \int_a^b g(x) \, dx$$
Donc, selon l'hypothèse de l'énoncé de l'exercice, on a :
$$r = \int_a^b g(x) \, dx = \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| = \int_a^b \left| f(x) \right| \, dx$$
Comme $$\left| e^{-i \theta} \right| = 1$$, on a :
$$\int_a^b g(x) \, dx = 1 \int_a^b \left| f(x) \right| \, dx = \left| e^{-i \theta} \right| \int_a^b \left| f(x) \right| \, dx = \int_a^b \left| e^{-i \theta} \right| \left| f(x) \right| \, dx = \int_a^b \left| e^{-i \theta} f(x) \right| \, dx = \int_a^b \left| g(x) \right| \, dx$$
Comme $$\left| g(x) \right| \in \mathbb{R}^+$$ cela implique (puisque $$a<b$$) que $$\int_a^b \left| g(x) \right| \, dx \in \mathbb{R}^+$$ cela implique immédiatement (selon l'égalité précédente) que $$\int_a^b g(x) \, dx \in \mathbb{R}^+$$. De fait, cela signfie que :
$$\Im\mathrm{m} \left( \int_a^b g(x) \, dx \right) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_a^b \Im\mathrm{m} \left(g(x) \right) \, dx = 0$$
Comme $$\Im\mathrm{m} \left(g(x) \right) \in \mathbb{R}$$, et que $$a \neq b$$, cela signifie que $$\int_a^b \Im\mathrm{m} \left(g(x) \right) \, dx = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \Im\mathrm{m} \left(g(x) \right) = 0$$. Ainsi la partie imaginaire de $$g$$ est nulle, et ceci pour tout $$x$$ de l'intervalle réel $$[a \,;\,b]$$. Autrement dit, pour tout $$x$$ de l'intervalle réel $$[a \,;\,b]$$, l'expression $$g(x)$$ est réelle. Ce qui signifie que :
$$\forall x \in [a \,;\,b], \,\, g(x) = \Re\mathrm{é} \left(g(x) \right)$$
On sait que :
$$\int_a^b g(x) \, dx = \int_a^b \left| g(x) \right| \, dx \geqslant 0$$
Soit encore :
$$\int_a^b \Re\mathrm{é} \left(g(x) \right) \, dx = \int_a^b \left| g(x) \right| \, dx \geqslant 0$$
Ceci nous permet d'affirmer que $$\Re\mathrm{é} \left(g(x) \right) \geqslant 0$$, c'est-à-dire que :
$$\forall x \in [a \,;\,b], \,\, g(x) = \Re\mathrm{é} \left(g(x) \right) \in \mathbb{R}^+$$
Et ceci implique que :
$$\forall x \in [a \,;\,b], \,\, \arg \left( g(x) \right) = 0$$

D'après la question précédente, on a :
$$\forall x \in [a \,;\,b], \,\, \arg \left( g(x) \right) = 0$$
Ce qui s'écrit également comme :
$$\forall x \in [a \,;\,b], \,\, \arg \left( e^{-i \theta} f(x) \right) = 0$$
En faisant usage des propriétés de l'argument complexe, on obtient :
$$\forall x \in [a \,;\,b], \,\, \arg \left( e^{-i \theta} \right) + \arg \left( f(x) \right) = 0$$
Soit :
$$\forall x \in [a \,;\,b], \,\, - \theta + \arg \left( f(x) \right) = 0$$
Finalement :
$$\forall x \in [a \,;\,b], \,\, \arg \left( f(x) \right) = \theta$$