Sujet 2 - Exercice 1

Par hypothèse on sait que la fonction $$f$$ est strictement positive sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$.
On a alors :
$$\big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} = e^{\ln \left( \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \right)}$$
Soit encore :
$$\big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right)}$$
Or, pour tout nombre réel $$X$$ on a le développement limité de l'exponentielle, à l'ordre deux, suivant :
$$e^X = 1 + X + \dfrac{1}{2}X^2 + R_2(X) = 1 + X + \dfrac{1}{2}X^2 \left( 1 + \dfrac{2R_2(X)}{X^2} \right) = 1 + X + \dfrac{1}{2}X^2 \mathcal{R}_2(X)$$
Ceci en posant $$\mathcal{R}_2(X) = 1 + \dfrac{2R_2(X)}{X^2}$$, et on a :
$$\lim_{X \longrightarrow 0} \dfrac{R_2(X)}{X^2} = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{X \longrightarrow 0} \mathcal{R}_2(X) = 1$$
Et de fait :
$$\left| \mathcal{R}_2(X) \right| \leqslant \left| e^X \right| \leqslant e^{\left| X \right|}$$
Ainsi, en posant $$X = \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right)$$, on obtient :
$$\big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right)} = 1 + \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) + \dfrac{1}{2}\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right)^2 \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right)$$
Soit encore :
$$\big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} = 1 + \dfrac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) + \dfrac{\left( \ln \left( f(x) \right) \right)^2}{2n^2} \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire, par intégration, que :
$$\int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx = \int_a^b 1 \, dx + \dfrac{1}{n} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n^2} \int_a^b \left( \ln \left( f(x) \right) \right)^2 \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right) \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$\int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx = b-a + \dfrac{1}{n} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n^2} \int_a^b \left( \ln \left( f(x) \right) \right)^2 \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right) \, dx$$
D'où :
$$\dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx = 1 + \dfrac{1}{n(b-a)} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n^2(b-a)} \int_a^b \left( \ln \left( f(x) \right) \right)^2 \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right) \, dx$$
Posons $$Q(x) = \int_a^b \left( \ln \left( f(x) \right) \right)^2 \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right) \, dx$$. Dans ce cas, on a :
$$\dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx = 1 + \dfrac{1}{n(b-a)} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n^2(b-a)} Q(x)$$
Avec :
$$\left| Q(x) \right| = \left| \int_a^b \left( \ln \left( f(x) \right) \right)^2 \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right) \, dx \right| \leqslant \int_a^b \left| \left( \ln \left( f(x) \right) \right)^2 \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right) \right|\, dx$$
Soit encore :
$$\left| Q(x) \right| \leqslant \int_a^b \left| \ln \left( f(x) \right) \right|^2 \left| \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right) \right|\, dx$$
Et on a aussi :
$$\left| \mathcal{R}_2\left( \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right) \right| \leqslant e^{\left| \frac{1}{n} \ln \left( f(x) \right) \right|} \leqslant e^{\left| \ln \left( f(x) \right) \right|}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left| Q(x) \right| \leqslant \int_a^b \left| \ln \left( f(x) \right) \right|^2 \left| e^{\left| \ln \left( f(x) \right) \right|} \right|\, dx$$
Donc, de manière identique :
$$\left| Q(x) \right| \leqslant \int_a^b \left| \ln \left( f(x) \right) \right|^2 e^{\left| \ln \left( f(x) \right) \right|} \, dx$$
La quantité intégrale $$\int_a^b \left| \ln \left( f(x) \right) \right|^2 e^{\left| \ln \left( f(x) \right) \right|} \, dx$$ est un nombre réel, que nous allons noter $$I_{[a\,;\,b]}$$.
Ainsi, on a :
$$\left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \left( 1 + \dfrac{1}{n(b-a)} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n^2(b-a)} Q(x) \right)^n$$
Et par passage à la limite, lorsque , on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n(b-a)} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n^2(b-a)} Q(x) \right)^n$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n(b-a)} Q(x) \right)\right)^n$$
On constate que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n(b-a)} Q(x) \right)= 0$$
Et de fait :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n(b-a)} Q(x) \right)$$
Avec la condition :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2n(b-a)} Q(x) \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{1}{2n(b-a)} Q(x) \right| \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2n(b-a)} \left| Q(x) \right| \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2n(b-a)} I_{[a\,;\,b]}$$
Egalement :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2n(b-a)} Q(x) \leqslant \dfrac{I_{[a\,;\,b]}}{2(b-a)} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n}$$
Donc :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2n(b-a)} Q(x) = 0$$
Donc, on constate que l'expression $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx + \dfrac{1}{2n(b-a)} Q(x) \right)$$ s'identifie à un développement limité de $$e^{\frac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx}$$. Donc, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = e^{\frac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx}$$
Finalement :
$$\ell = e^{\frac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx} = \exp \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx \right)$$
Cette limite s'identifie à l'exponentielle de la valeur moyenne de la fonction $$x \longrightarrow \ln \left( f(x) \right)$$ sur l'intervalle d'intégration $$[a\,;\,b]$$.

On a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{2-1} \int_1^2 \big( e^x \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \int_1^2 e^{\frac{x}{n}} \, dx \right)^n$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \left[ ne^{\frac{x}{n}} \right]_1^2 \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( n \left[ e^{\frac{x}{n}} \right]_1^2 \right)^n$$
Soit :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( n \left( e^{\frac{2}{n}} - e^{\frac{1}{n}}\right) \right)^n$$
Cependant, on a :
$$e^{\frac{2}{n}} = 1 + \dfrac{2}{n} + \frac{2}{n^2} + o\left( \left(\dfrac{2}{n}\right)^2 \right)$$
et aussi :
$$e^{\frac{1}{n}} = 1 + \dfrac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} + o\left( \left(\dfrac{1}{n}\right)^2 \right)$$
D'où :
$$n \left( e^{\frac{2}{n}} - e^{\frac{1}{n}}\right) = n \left( 1 + \dfrac{2}{n} + \frac{2}{n^2} - 1 - \dfrac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left( \left(\dfrac{1}{n}\right)^2 \right)\right)$$
Soit :
$$n \left( e^{\frac{2}{n}} - e^{\frac{1}{n}}\right) = n \left(\dfrac{1}{n} + \frac{3}{2n^2} + o\left( \left(\dfrac{1}{n}\right)^2 \right)\right)$$
Soit encore :
$$n \left( e^{\frac{2}{n}} - e^{\frac{1}{n}}\right) = 1 + \frac{3}{2n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Donc :
$$n \left( e^{\frac{2}{n}} - e^{\frac{1}{n}}\right) = 1 + \frac{\dfrac{3}{2}}{n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Ainsi, on obtient donc :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( n \left( e^{\frac{2}{n}} - e^{\frac{1}{n}}\right) \right)^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( 1 + \frac{\dfrac{3}{2}}{n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right)^n = e^{\frac{3}{2}}$$
D'où :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = e^{\frac{3}{2}}$$
Puis, on a :
$$\exp \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx \right) = \exp \left( \dfrac{1}{2-1} \int_1^2 \ln \left( e^x \right) \, dx \right) = \exp \left( \int_1^2 x \, dx \right)$$
Avec :
$$\int_1^2 x \, dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_1^2 = \dfrac{1}{2} \left[ x^2 \right]_1^2 = \dfrac{1}{2} \left( 2^2 - 1^2 \right) = \dfrac{1}{2} \left( 4 - 1 \right) = \dfrac{1}{2} \left( 3 \right) = \dfrac{3}{2}$$
Ainsi on obtient :
$$\exp \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx \right) = \exp \left( \dfrac{3}{2} \right) = e^{\frac{3}{2}}$$
On constate bien, sur cet exemple, que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \big( f(x) \big)^{\frac{1}{n}} \, dx \right)^n = \exp \left( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln \left( f(x) \right) \, dx \right)$$