Sujet 1 - Exercice 1

Pour démontrer cette équivalence, nous allons démontrer les deux implications, directe et indirecte.
$${\color{blue}{\bf{\bullet \,\, Sens \,\, indirect \,\, (\Longleftarrow)}}}$$
On suppose que $$\forall x \in [a \,;\ b], \,\, f(x) = 0$$. Dans ce cas, l'interprétation géométrique de $$\int_a^b f(x) \, dx$$ permet de conclure à sa valeur nulle, c'est immédiat. Donc :
$$\forall x \in [a \,;\ b], \,\, f(x) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_a^b f(x) \, dx = 0$$
$${\color{blue}{\bf{\bullet \bullet \,\, Sens \,\, direct \,\, (\Longrightarrow)}}}$$
Pour la réciproque, nous allons entreprendre de démontrer la proposition contraposée. En effet, on sait que :
$$\left( \int_a^b f(x) \, dx = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \forall x \in [a \,;\ b], \,\, f(x) = 0 \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left( \exist x_0 \in [a \,;\, b], \,\, f(x) \neq 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_a^b f(x) \, dx \neq 0 \right)$$
Ainsi on suppose l'existence d'un réel $$x_0 \in [a \,;\, b]$$ tel que $$f(x_0) \neq 0$$. De fait, comme $$f$$ est positive sur $$[a \,;\, b]$$ on a $$f(x_0) > 0$$. Puis, par hypothèse, $$f$$ est continue sur $$[a \,;\, b]$$ donc $$f$$ reste strictement positive au voisinage de $$x_0$$. Notons ce voisinage $$[ \alpha \,;\, \beta] \subseteq [a \,;\ b]$$, avec $$\beta > \alpha$$. Ainsi on a :
$$\forall x \in [\alpha \,;\, \beta], \,\, f(x) > 0$$
La fonction $$f$$ étant, par hypothèse, continue sur $$[a \,;\, b]$$ elle est donc également continue sur $$[\alpha \,;\, \beta]$$, et de fait elle y présente un minimum. Notons par $$m$$ ce minimum :
$$m = \underset{x \in [\alpha \,;\, \beta]}{\min (f(x))} > 0$$
De fait, on a alors :
$$\int_a^b f(x) \, dx \geqslant \int_\alpha^\beta f(x) \, dx \geqslant \int_\alpha^\beta m \, dx$$
Avec :
$$\int_\alpha^\beta m \, dx = m\int_\alpha^\beta 1 \, dx = m(b-a) >0$$
Ce qui implique que :
$$\int_a^b f(x) \, dx \geqslant \int_\alpha^\beta f(x) \, dx \geqslant \int_\alpha^\beta m \, dx > 0$$
Ce qui revient à dire que :
$$\int_a^b f(x) \, dx \neq 0$$
La proposition contraposée est donc bien démontrer, ce qui implique que la proposition dans le sens directe aussi.
$${\color{red}{\bf{\bullet \bullet \bullet \,\, Conclusion }}}$$
Nous venons de démontrer les deux implication réciproque l'une de l'autre ce qui signifie que l'équivalence est démontrée. Finalement, on a bien :
$$\int_a^b f(x) \, dx = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \forall x \in [a \,;\ b], \,\, f(x) = 0$$