Le lemme de Lebesgue - Exercice 1

On a :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = \int_a^b 1 \cos(nx) \, dx = \int_a^b \cos(nx) \, dx = \left[ \dfrac{\sin(nx)}{n} \right]_a^b = \dfrac{\sin(nb)}{n} - \dfrac{\sin(na)}{n}$$
Soit :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = \dfrac{1}{n} \left( \sin(nb) - \sin(na) \right)$$
Le terme $$\sin(nb) - \sin(na)$$ est majoré par $$2$$ et minoré par $$-2$$. Donc, on a l'encadrement suivant :
$$-\dfrac{2}{n} \leqslant \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \leqslant \dfrac{2}{n}$$
Mais on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( -\dfrac{2}{n} \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{2}{n} \right) = 0$$
En vertu du théorème de l'encadrement, on en déduit que, si $$f = 1$$ alors on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = 0$$

On a :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = \sum_{i=0}^{p-1 } \int_{a_i}^{a_{i+1}} k_i \cos(nx) \, dx = \sum_{i=0}^{p-1 } k_i \int_{a_i}^{a_{i+1}} \cos(nx) \, dx$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{i=0}^{p-1 } k_i \int_{a_i}^{a_{i+1}} \cos(nx) \, dx = \sum_{i=0}^{p-1 } k_i \lim_{n \longrightarrow + \infty}\int_{a_i}^{a_{i+1}} \cos(nx) \, dx$$
D'après la question précédente, on a $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \int_a^b \cos(nx) \, dx = 0$$. Ainsi on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = \sum_{i=0}^{p-1 } k_i 0 = \sum_{i=0}^{p-1 } 0 = 0$$
Finalement, si $$f$$ est une fonction en escalier alors on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = 0$$

Comme $$f$$ est une fonction continue par morceaux sur l'intervalle $$[a \,;\, b]$$ cela signifie (d'après les rappels de cours) qu'il existe deux fonctions, $$\varphi$$ et $$\psi$$, en escalier telles que, pour $$\varepsilon > 0$$ :
$$\varphi \leqslant f \leqslant \psi \,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\, \psi - \varphi \leqslant \varepsilon$$
Choisissons de prendre pour forme d'écriture (très pratique et justifiée à la fin de cette question) du réel strictement positif $$\varepsilon$$ :
$$\varepsilon = \dfrac{\epsilon}{2(b-a)} \,\,\, (\epsilon > 0) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \psi - \varphi \leqslant \dfrac{\epsilon}{2(b-a)}$$
Ainsi, de $$\varphi \leqslant f \leqslant \psi$$ on peut écrire que $$\varphi - \varphi \leqslant f - \varphi \leqslant \psi - \varphi \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 \leqslant f - \varphi \leqslant \psi - \varphi$$. On en déduit alors que l'on a l'encadrement suivant :
$$0 \leqslant f - \varphi \leqslant \dfrac{\epsilon}{2(b-a)}$$
On a alors le "jeu" d'écriture suivant qui a pour but de faire apparaître la quantité encadrée $$f - \varphi$$ :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = \int_a^b \big( \varphi(x) + f(x) - \varphi(x) \big) \cos(nx) \, dx$$
Soit :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \int_a^b \big( f(x) - \varphi(x) <br />\big) \cos(nx) \, dx$$
Soit encore :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \int_a^b \big( f - \varphi \big)(x) \cos(nx) \, dx$$
L'encadrement établit précédemment $$0 \leqslant f - \varphi \leqslant \dfrac{\epsilon}{2(b-a)}$$ nous permet d'écrire la majoration suivante :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \leqslant \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \int_a^b \dfrac{\epsilon}{2(b-a)} \cos(nx) \, dx$$
De plus le terme $$\cos(nx)$$ est lui-même majoré par $$1$$, donc :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \leqslant \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \int_a^b \dfrac{\epsilon}{2(b-a)} 1 \, dx$$
Soit :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \leqslant \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \dfrac{\epsilon}{2(b-a)} \int_a^b 1 \, dx$$
Soit encore :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \leqslant \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \dfrac{\epsilon}{2(b-a)} (b-a)$$
En simplifiant par le terme $$b-a \neq 0$$, on aboutit à :
$$\int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \leqslant \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \dfrac{\epsilon}{2}$$
Maintenant exploitons le fait que $$\varphi$$ soit une fonction en escalier. D'après la conclusion de la question précédente, on peut affirmer que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx = 0$$
Ceci implique qu'il existe un certain nombre entier naturel $$n_0$$ tel que :
$$\forall n > n_0, \,\, \left| \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx \right| \leqslant \dfrac{\epsilon}{2} \,\,\, (\epsilon > 0)$$
Par introduction des valeurs absolues, on peut écrire que :
$$\left| \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \right| \leqslant \left| \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \dfrac{\epsilon}{2} \right|$$
Selon l'inégalité triangulaire nous pouvons écrire que :
$$\left| \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \right| \leqslant \left| \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx + \dfrac{\epsilon}{2} \right| \leqslant \left| \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx \right| + \left| \dfrac{\epsilon}{2} \right|$$
Comme $$\epsilon > 0$$ on a alors $$\left| \dfrac{\epsilon}{2} \right| = \dfrac{\epsilon}{2}$$. D'où :
$$\left| \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \right| \leqslant \left| \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx \right| + \dfrac{\epsilon}{2}$$
Mais nous avons montré précédemment que $$\forall n > n_0, \,\, \left| \int_a^b \varphi(x) \cos(nx) \, dx \right| \leqslant \dfrac{\epsilon}{2} \,\,\, (\epsilon > 0)$$. Ainsi on a :
$$\forall n > n_0, \,\, \left| \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \right| \leqslant \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2}$$
Ce qui nous donne directement :
$$\forall n > n_0, \,\, \left| \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \right| \leqslant \epsilon$$
C'est cette dernière inégalité qui justifie le choix d'avoir posé précédemment $$\varepsilon = \dfrac{\epsilon}{2(b-a)} \,\,\, (\epsilon > 0)$$. Elle va permettre une conclusion rapide et propre.
En effet, ceci nous permet d'écrire que :
$$\forall n > n_0, \,\, - \epsilon \leqslant \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx \leqslant \epsilon$$
Comme ceci est vrai $${\color{red}{\bf{pour \,\, tout}}}$$ nombre réel strictement positif $$\epsilon$$, ceci est donc toujours vrai lorsque $$\epsilon \longrightarrow 0^+$$, du moment que la condition $$n > n_0$$ soit satisfaite. Pour être sûr que la condition $$n > n_0$$ soit satisfaite il nous suffit de choisir de faire tendre $$n \longrightarrow +\infty$$. Ainsi, on en déduit que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = 0$$
Finalement, si $$f$$ est une fonction numérique réelle continue par morceaux sur l'intervalle $$[a \,;\, b]$$ alors on a la limite suivante :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \int_a^b f(x) \cos(nx) \, dx = 0$$
C'est le lemme de $$Lesbesgue$$.
$$\color{blue}{\bf{\clubsuit \,\, Remarque :}}$$
$$\color{blue}{\it{ Ce \,\, lemme \,\, permet \,\, de \,\, démontrer \,\, la \,\, décroissance \,\, vers \,\, 0 \,\, des \,\, coefficients \,\, de \,\, Fourier. }}$$