Inégalité de Cauchy-Schwarz - Exercice 1

On a :
$$\int_a^b (\lambda f + g)^2(x) \, dx = \int_a^b \big(\lambda f(x) + g(x) \big)^2 \, dx = \int_a^b \big(\lambda^2 f^2(x) + 2 \lambda f(x) g(x) + g^2(x) \big) \, dx$$
Soit encore :
$$\int_a^b (\lambda f + g)^2(x) \, dx = \int_a^b \big(\lambda f(x) + g(x) \big)^2 \, dx = \lambda^2 \int_a^b f^2(x) \, dx + 2 \lambda \int_a^b f(x) g(x) \, dx + \int_a^b g^2(x) \, dx$$
Ainsi l'expression $$\int_a^b (\lambda f + g)^2(x) \, dx$$ représente un polynôme d'ordre deux en $$\lambda$$. De plus, ce polynôme $$\int_a^b (\lambda f + g)^2(x) \, dx$$ est nécessairement positif ou nul. Ceci signifie que la représentation de ce polynôme, en $$\lambda$$, coupe au plus une fois l'axe des abscisses (dirigé selon les $$\lambda$$ croissants). Ainsi ce polynôme $$\int_a^b (\lambda f + g)^2(x) \, dx$$ admet au plus une seule racines $$\lambda$$ réelle. Donc son discriminant $$\Delta$$ est négatif ou nul. Ainsi :
$$\Delta \leqslant 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left( 2 \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right)^2 - 4 \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \times \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right) \leqslant 0$$
Soit encore :
$$4 \left( \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right)^2 - 4 \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \times \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right) \leqslant 0$$
D'où :
$$4 \left( \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right)^2 \leqslant 4 \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \times \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right)$$
En simplifiant par $$4$$, on trouve que :
$$\left( \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right)^2 \leqslant \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \times \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right)$$
Finalement, on a bien démontré l'inégalité de $$Cauchy-Schwarz$$ :
$$\left( \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right)^2 \leqslant \int_a^b f^2(x) \, dx \times \int_a^b g^2(x) \, dx$$
Il s'agit d'une inégalité très importante dans les tentatives de majoration.