Sujet $$3$$ - Exercice 1

Soit $$\lambda$$ un nombre complexe.
Notons par $$P_u$$ le polynôme caractéristique de $$u$$. On a alors :
$$P_u(\lambda) = \det \big( M_B - \lambda I_3 \big) = \begin{vmatrix} 0- \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0- \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 7 & 0- \lambda & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 0- \lambda \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} - \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 7 & - \lambda & 6 \\ 0 & 0 & 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix}$$
Développons ce déterminant selon la première colonne. On a alors :
$$P_u(\lambda) = -\lambda \times (-1)^{1+1} \times \begin{vmatrix} - \lambda & -1 & 0 \\ 7 & - \lambda & 6 \\ 0 & 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix} + 2 \times (-1)^{2+1} \times \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & - \lambda & 6 \\ 0 & 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix}$$
Ainsi :
$$P_u(\lambda) = -\lambda \begin{vmatrix} - \lambda & -1 & 0 \\ 7 & - \lambda & 6 \\ 0 & 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & - \lambda & 6 \\ 0 & 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix} = \lambda \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 7 & - \lambda & 6 \\ 0 & 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & - \lambda & 6 \\ 0 & 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix}$$
Donc :
$$P_u(\lambda) = \lambda \left( \lambda \times (-1)^{1+1} \times \begin{vmatrix} - \lambda & 6 \\ 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix} + 1 \times (-1)^{1+2} \times \begin{vmatrix} 7 & 6 \\ 0 & - \lambda \\ \end{vmatrix} \right) - 2 \times 1 \times (-1)^{1+1} \times \begin{vmatrix} - \lambda & 6 \\ 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix}$$
Ainsi :
$$P_u(\lambda) = \lambda \left( \lambda \begin{vmatrix} - \lambda & 6 \\ 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 7 & 6 \\ 0 & - \lambda \\ \end{vmatrix} \right) - 2 \begin{vmatrix} - \lambda & 6 \\ 3 & - \lambda \\ \end{vmatrix}$$
D'où :
$$P_u(\lambda) = \lambda \left( \lambda (\lambda^2 - 18) - (-7 \lambda ) \right) - 2 (\lambda^2 - 18) = \lambda \left( \lambda (\lambda^2 - 18) + 7 \lambda \right) - 2 \lambda^2 + 36$$
Ce qui nous donne :
$$P_u(\lambda) = \lambda^2 (\lambda^2 - 18) + 7 \lambda^2 - 2 \lambda^2 + 36 = \lambda^2(\lambda^2 - 18) + 5 \lambda^2 + 36 = \lambda^4 - 18\lambda^2 + 5 \lambda^2 + 36$$
On a alors :
$$P_u(\lambda) = \lambda^4 - 13\lambda^2 + 36 = (\lambda^2)^2 - 13 \lambda^2 + 36$$
Les racines de ce polynôme en $$\lambda^2$$ sont $$4$$ et $$9$$, donc :
$$P_u(\lambda) = (\lambda^2 - 4)(\lambda^2 - 9) = (\lambda^2 - 2^2)(\lambda^2 - 3^2)$$
En factorisant, on trouve donc que :
$$P_u(\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda + 2)(\lambda - 3)(\lambda + 3)$$
La résolution de $$P_u(\lambda) = 0$$ conduit à $$(\lambda - 2)(\lambda + 2)(\lambda - 3)(\lambda + 3) = 0$$. On constate donc que l'endomorphisme étudié admet quatre valeurs propres réelles distinctes :
$$\blacktriangleright \,\,$$ on a $$\lambda = 2$$ de multiplicité $$m_2 = 1$$ et de sous-espace propre $$V(2) = \ker\big( u - 2\mathrm{Id}_E \big)$$ ;
$$\blacktriangleright \blacktriangleright \,\,$$ on a $$\lambda = -2$$ de multiplicité $$m_{-2} = 1$$ et de sous-espace propre $$V(-2) = \ker\big( u + 2\mathrm{Id}_E \big)$$ ;
$$\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,\,$$ on a $$\lambda = 3$$ de multiplicité $$m_3 = 1$$ et de sous-espace propre $$V(3) = \ker\big( u - 3\mathrm{Id}_E \big)$$ ;
$$\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,\,$$ on a $$\lambda = -3$$ de multiplicité $$m_{-3} = 1$$ et de sous-espace propre $$V(-3) = \ker\big( u + 3\mathrm{Id}_E \big)$$
On peut déjà conclure que l'endomorphisme $$u$$ est diagonalisable. Déterminons l'ensemble de ses caractéristiques. On a :
$$\mathrm{Sp}_{\mathbb{R}}(u) = \{ \, -3 \,;\, -2 \,;\, 2 \,;\, 3 \,\}$$
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, Traitement \,\, général \, : \,\, }} \lambda \in \mathbb{R}}$$
Soit $$a$$, $$b$$, $$c$$ et $$d$$ quatre nombre réels.
On désigne par $$v(\lambda) = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$$ un vecteur propre de $$u$$.
L'équation aux valeurs propres, sous forme matricielle et dans la base $$B$$, est alors :
$$M_B \, v(\lambda) = \lambda v(\lambda) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a \\ \lambda b \\ \lambda c \\ \lambda d \end{pmatrix}$$
Ce qui nous conduit au système linéaire suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} b & = & \lambda a \\ 2a - c & = & \lambda b \\ 7b + 6 d & = & \lambda c \\ 3c & = & \lambda d \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & \in & \mathbb{R} \\ \\ b & = & \lambda a \\ \\ c & = & 2a - \lambda b \\ \\ d & = & \dfrac{3c}{\lambda} \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & \in & \mathbb{R} \\ \\ b & = & \lambda a \\ \\ c & = & 2a-\lambda^2a \\ \\ d & = & \dfrac{3c}{\lambda} \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & \in & \mathbb{R} \\ \\ b & = & \lambda a \\ \\ c & = & (2 - \lambda^2)a \\ \\ d & = & \dfrac{3(2-\lambda^2)}{\lambda} a\end{array} \right.$$
On a alors :
$$v(\lambda) = \begin{pmatrix} a \\ \\ \lambda a \\ \\ (2-\lambda^2)a \\ \\ \dfrac{3(2-\lambda^2)}{\lambda} a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ \\ \lambda \\ \\ 2-\lambda^2 \\ \\ \dfrac{3(2-\lambda^2)}{\lambda} \end{pmatrix} \,\,\,\, \mathrm{avec \,: \,} a \in \mathbb{R}$$
De fait, on en déduit que :
$$V(\lambda) = \mathrm{Vect} \left\lbrace \, \begin{pmatrix} 1 \\ \\ \lambda \\ \\ 2-\lambda^2 \\ \\ \dfrac{3(2-\lambda^2)}{\lambda} \end{pmatrix} \, \right\rbrace$$
Nous allons pouvoir regarder les situations particulières associées aux différentes valeurs propres de l'endomorphisme $$u$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \,\, Eléments \,\, propres \, : \,\, }}}$$
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \,\, Premier \,\, cas \, : \,\, }} \lambda = 2}$$
On a alors :
$$V(2) = \mathrm{Vect} \left\lbrace \, \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 2 \\ \\ -2 \\ \\ -3 \end{pmatrix} \, \right\rbrace \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \dim V(2) = 1 = m_2$$
Et par simplicité, on choisit évidemment :
$$v(2) = \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 2 \\ \\ -2 \\ \\ -3 \end{pmatrix}$$
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,\, Deuxième \,\, cas \, : \,\, }} \lambda = -2}$$
On a alors :
$$V(-2) = \mathrm{Vect} \left\lbrace \, \begin{pmatrix} 1 \\ \\ -2 \\ \\ -2 \\ \\ 3 \end{pmatrix} \, \right\rbrace \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \dim V(-2) = 1 = m_{-2}$$
Et par simplicité, on choisit évidemment :
$$v(-2) = \begin{pmatrix} 1 \\ \\ -2 \\ \\ -2 \\ \\ 3 \end{pmatrix}$$
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,\, Troisième \,\, cas \, : \,\, }} \lambda = 3}$$
On a alors :
$$V(3) = \mathrm{Vect} \left\lbrace \, \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 3 \\ \\ -7 \\ \\ -7 \end{pmatrix} \, \right\rbrace \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \dim V(3) = 1 = m_3$$
Et par simplicité, on choisit évidemment :
$$v(3) = \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 3 \\ \\ -7 \\ \\ -7 \end{pmatrix}$$
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,\, Quatrième \,\, cas \, : \,\, }} \lambda = -3}$$
On a alors :
$$V(-3) = \mathrm{Vect} \left\lbrace \, \begin{pmatrix} 1 \\ \\ -3 \\ \\ -7 \\ \\ 7 \end{pmatrix} \, \right\rbrace \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \dim V(-3) = 1 = m_{-3}$$
Et par simplicité, on choisit évidemment :
$$v(-3) = \begin{pmatrix} 1 \\ \\ -3 \\ \\ -7 \\ \\ 7 \end{pmatrix}$$
On en déduit une base propre $$B_p$$ possible de l'endomorphisme $$u$$, qui exprimée dans la base initiale $$B$$, est donnée par :
$$B_p = \left( v(-3) = \begin{pmatrix} 1 \\ \\ -3 \\ \\ -7 \\ \\ 7 \end{pmatrix} \,;\, v(-2) = \begin{pmatrix} 1 \\ \\ -2 \\ \\ -2 \\ \\ 3 \end{pmatrix} \,;\, v(2) = \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 2 \\ \\ -2 \\ \\ -3 \end{pmatrix} \,;\, v(3) = \begin{pmatrix} 1 \\ \\ 3 \\ \\ -7 \\ \\ -7 \end{pmatrix} \right)$$
Et on associe, par exemple, l'expression matricielle $$M_{B_p}$$ de l'endomorphisme $$u$$ étudiée au sein de cette base propre :
$$M_{B_p} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}$$
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\, Matrice \,\, de \,\, passage \, : \,\, }} P_{B \longrightarrow B_p}}$$
La matrice de passage $$P_{B \longrightarrow B_p}$$ qui permet de passer des expressions de la base initiale $$B$$ à des expressions dans la base propre $$B_p$$ est obtenue, en respectant l'ordre de rangement des valeurs propres, par un rangement en colonne. Donc on obtient :
$$P_{B \longrightarrow B_p} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & 2 & 3 \\ -7 & -2 & -2 & -7 \\ 7 & 3 & -3 & -7 \end{pmatrix}$$
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\, Matrice \,\, de \,\, passage \,\, inverse \, : \,\, }} P_{B_p \longrightarrow B}}$$
La matrice de passage $$P_{B_p \longrightarrow B}$$ est l'inverse de la matrice précédente $$P_{B \longrightarrow B_p}$$. Donc :
$$P_{B_p \longrightarrow B} = [P_{B \longrightarrow B_p}]^{-1}$$.
On a :
$$\det P_{B \longrightarrow B_p} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & 2 & 3 \\ -7 & -2 & -2 & -7 \\ 7 & 3 & -3 & -7 \end{vmatrix} = 100$$
Et on trouve (après calculs et simplifications) par la méthode de votre choix :
$$P_{B_p \longrightarrow B} = [P_{B \longrightarrow B_p}]^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 & 2 \\ 7 & -7 & 1 & -3 \\ 7 & 7 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$