Diagonalisation

Exercice 9 - Exercice 1

10 min
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Un petit exercice pour se rassurer !
Question 1
Soit nn un nombre entier naturel non nul..
Soit E=Rn[X]E = \mathbb{R}_n[X].
On considère l'endomorphisme uu de EE défini par u:P⟼P′u : P \longmapsto P'.

Déterminer les valeurs propres de uu et les sous-espaces propres associés.

Correction
On a l'équation aux valeurs propres suivante :
u(p)=λP   ⟺   P′=λPu(p) = \lambda P \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P' = \lambda P
Or, si PP est non nul et deg⁡(P)⩾1\deg (P) \geqslant 1 alors deg⁡(P′)=deg⁡(P)−1\deg (P') = \deg (P) - 1
Donc :
∙  \bullet \,\, Si λ≠0\lambda \neq 0 alors P′=λP   ⟺   P=0P' = \lambda P \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P = 0. Mais P=0P = 0 ne peut pas être, par définition, un vecteur propre. Defait il n'y pas pas de sous-espace propre associé.
∙∙  \bullet \bullet \,\, Si λ=0\lambda = 0 alors P′=λP   ⟺   P′=0   ⟺   P∈ker⁡(u)   ⟺   P∈R0[X]P' = \lambda P \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P' = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P \in \ker(u) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P \in \mathbb{R}_0[X].
En conclusion, la seule valeur propre possible est λ=0\lambda = 0 et le sous-espace propre associé est E0=ker⁡(u)=R0[X]\mathcal{E}_0 = \ker(u) = \mathbb{R}_0[X].