Exercice 9 - Exercice 1

On a l'équation aux valeurs propres suivante :
$$u(p) = \lambda P \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P' = \lambda P$$
Or, si $$P$$ est non nul et $$\deg (P) \geqslant 1$$ alors $$\deg (P') = \deg (P) - 1$$
Donc :
$$\bullet \,\,$$ Si $$\lambda \neq 0$$ alors $$P' = \lambda P \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P = 0$$. Mais $$P = 0$$ ne peut pas être, par définition, un vecteur propre. Defait il n'y pas pas de sous-espace propre associé.
$$\bullet \bullet \,\,$$ Si $$\lambda = 0$$ alors $$P' = \lambda P \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P' = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P \in \ker(u) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P \in \mathbb{R}_0[X]$$.
En conclusion, la seule valeur propre possible est $$\lambda = 0$$ et le sous-espace propre associé est $$\mathcal{E}_0 = \ker(u) = \mathbb{R}_0[X]$$.