Développements limités

Un bon équivalent ! - Exercice 1

40 min
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Un exercice pour vérifier que vous savez déterminer un équivalent.
Question 1
Soit x>0x>0. On pose f(x)=(1+x)1x2f(x) = (1+x)^{\frac{1}{x^2}}

Déterminer un équivalent simple de ff en 0+0^+.

Correction
On a :
f(x)=(1+x)1x2=eln((1+x)1x2)=e1x2ln(1+x)f(x) = (1+x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{\ln\left( (1+x)^{\frac{1}{x^2}} \right)} = e^{\frac{1}{x^2}\ln\left( 1+x \right)}
Or, on sait que :
ln(1+x)=x12x2+o(x2)\ln\left( 1+x \right) = x - \dfrac{1}{2}x^2 + o(x^2)
Ce qui implique que :
1x2ln(1+x)=x12x2+o(x2)x2=xx212x2x2+o(x2)x2=1x12+o(1)\dfrac{1}{x^2}\ln\left( 1+x \right) = \dfrac{x - \dfrac{1}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2} = \dfrac{x}{x^2} - \dfrac{\dfrac{1}{2}x^2}{x^2} + \dfrac{o(x^2)}{x^2} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} + o(1)
Donc :
e1x2ln(1+x)=e1x12+o(1)e^{\frac{1}{x^2}\ln\left( 1+x \right)} = e^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2} + o(1)}
Ce qui implique que :
f(x)0e1x12f(x) \underset{0}{\sim} e^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}
Qui s'écrit également comme :
f(x)0e1x×e12f(x) \underset{0}{\sim} e^{\frac{1}{x}} \times e^{-\frac{1}{2}}
Soit encore :
f(x)0e1x×1ef(x) \underset{0}{\sim} e^{\frac{1}{x}} \times \dfrac{1}{\sqrt{e}}
Finalement :
f(x)0e1xe{\color{red}{\boxed{ f(x) \underset{0}{\sim} \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{e}} }}}
Graphiquement, on observe que :

Il y a une parfaite superposition au voisinage de 0+0^+.