Opérations sur les développements limités : Composition de DL - Exercice 2
30 min
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Déterminer les D.L. des fonctions suivantes :
Question 1
Donner un D.L. à l'ordre 3, au voisinage de 0, de f(x)=1+sin(x).
Correction
On a : sin(x)=x−6x3+o(x3) et 1+X=1+2X−8X2+16X3+o(X3) On va pouvoir remplacer X par x−6x3 car on a : x⟶0limsin(x)=x⟶0lim(x−6x3+o(x3))=0 Ainsi, il est possible d'écrire : 1+sin(x)=1+2(x−6x3)−8(x−6x3)2+16(x−6x3)3+o(x3) On développe, en ne conservant que les termes de degreˊ infeˊrieur ou eˊgal aˋ trois, pour obtenir : 1+sin(x)=1+2x−6x3−8x2+16x3+o(x3) Ce qui nous donne : 1+sin(x)=1+2x−12x3−8x2+16x3+o(x3) Où encore : 1+sin(x)=1+2x−8x2+16x3−12x3+o(x3) Donc : 1+sin(x)=1+2x−8x2+(161−121)x3+o(x3) Avec : 161−121=16×1212−16=16×12−4=16×3−1=−481 Finalement, on trouve que : 1+sin(x)=1+2x−8x2−48x3+o(x3)
Question 2
Donner un D.L. à l'ordre 4, au voisinage de 0, de f(x)=1+cos(x).
Correction
On a : cos(x)=1−2x2+24x4+o(x4) et 1+X=1+2X−8X2+16X3−1285X4+o(X4) On ne va pas pouvoir remplacer X par 1−2x2+24x4 car on a : x⟶0limcos(x)=x⟶0lim(1−2x2+24x4+o(x4))=1=0 Nous allons donc écrire que : f(x)=1+cos(x)=1+1−2x2+24x4+o(x4)=2−2x2+24x4+o(x4) Nous allons utiliser une astuce simple : la factorisation ! Nous écrivons donc : f(x)=2(1−4x2+48x4+o(x4))=2×1−4x2+48x4+o(x4)=2×1+(−4x2+48x4)+o(x4) Ainsi, dans la relation 1+X=1+2X−8X2+16X3−1285X4+o(X4) on va remplacer X par −4x2+48x4. Cette fois, nous pouvons faire ce remplacement car on a bien x⟶0lim(−4x2+48x4+o(x4))=0. On obtient alors : f(x)=1+cos(x)=2×⎝⎛1+2(−4x2+48x4)−8(−4x2+48x4)2+16(−4x2+48x4)3−1285(−4x2+48x4)4+o(x4)⎠⎞ On développe, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à quatre, pour obtenir : f(x)=1+cos(x)=2×⎝⎛1+2−4x2+48x4−816x4+o(x4)⎠⎞ Soit : f(x)=1+cos(x)=2×(1−8x2+96x4−128x4+o(x4)) Soit encore : f(x)=1+cos(x)=2×(1−8x2+(961−1281)x4+o(x4)) Avec : 961−1281=96×128128−96=96×12832=96×41=3841 Ainsi : f(x)=1+cos(x)=2×(1−8x2+3841x4+o(x4)) Finalement, on trouve que : 1+cos(x)=2−82x2+3842x4+o(x4)
Question 3
Donner un D.L. à l'ordre 4, au voisinage de 0, de f(x)=ecos(x).
Correction
On a : cos(x)=1−2x2+24x4+o(x4) et eX=1+X+2X2+6X3+24X4+o(X4) On ne va pas pouvoir remplacer X par 1−2x2+24x4 car on a : x⟶0limcos(x)=x⟶0lim(1−2x2+24x4+o(x4))=1=0 Nous allons donc écrire que : ecos(x)=e1−2x2+24x4+o(x4)=e1×e−2x2+24x4+o(x4)=e×e−2x2+24x4+o(x4) Mais cette fois, on a bien x⟶0lim(−2x2+24x4+o(x4))=0. Dans la relation eX=1+X+2X2+6X3+24X4+o(X4) on va donc pouvoir remplacer X par −2x2+24x4. On a alors : e(−2x2+24x4)=1+(−2x2+24x4)+2(−2x2+24x4)2+6(−2x2+24x4)3+24(−2x2+24x4)4+o(X4) On développe, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à quatre, pour obtenir : e(−2x2+24x4)=1+(−2x2+24x4)+2(−2x2+24x4)2+6(−2x2+24x4)3+24(−2x2+24x4)4+o(X4) Donc : e(−2x2+24x4)=1−2x2+24x4+2(−2x2)2+o(X4) Ce qui nous donne : e(−2x2+24x4)=1−2x2+24x4+8x4+o(X4) Ou encore : e(−2x2+24x4)=1−2x2+24x4+243x4+o(X4) Donc : e(−2x2+24x4)=1−2x2+244x4+o(X4) On obtient alors : e(−2x2+24x4)=1−2x2+4×64x4+o(X4) En simplifiant : e(−2x2+24x4)=1−2x2+6x4+o(X4) De ceci, on en déduit que : ecos(x)=e×(1−2x2+6x4+o(X4)) Finalement : ecos(x)=e−2ex2+6ex4+o(x4)
Question 4
Donner un D.L. à l'ordre 4, au voisinage de 0, de f(x)=esin(x).
Correction
On a : sin(x)=x−6x3+o(x4) et eX=1+X+2X2+6X3+24X4+o(X4) On va pouvoir remplacer X par x−6x3 car on a : x⟶0limsin(x)=x⟶0lim(x−6x3+o(x4))=0 Ainsi, il est possible d'écrire : esin(x)=1+(x−6x3)+2(x−6x3)2+6(x−6x3)3+24(x−6x3)4+o(x4) On développe, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à quatre, pour obtenir : esin(x)=1+x−6x3+2x2−2x6x3+6x3+24x4+o(x4) Soit : esin(x)=1+x−6x3+2x2−6x4+6x3+24x4+o(x4) D'où : esin(x)=1+x+2x2−(61−241)x4+o(x4) Ce qui nous donne : esin(x)=1+x+2x2−6×2424−6x4+o(x4) Ainsi : esin(x)=1+x+2x2−14418x4+o(x4) Ce qui s'écrit également : esin(x)=1+x+2x2−18×818x4+o(x4) Finalement : esin(x)=1+x+2x2−8x4x4+o(x4)
Question 5
Donner un D.L. à l'ordre 3, au voisinage de 0, de f(x)=(1+x)31+x.
Correction
On a : f(x)=(1+x)31+x=(1+x)1×(1+x)31=(1+x)1+31=(1+x)34 0r, on a : (1+x)a=1+ax+2a(a−1)x2+6a(a−1)(a−2)x3+o(x3) Posons a=34. On a alors : ∙2a(a−1)=92 ∙∙6a(a−1)(a−2)=−814 Finalement : f(x)=(1+x)31+x=1+34x+92x2−814x3+o(x3)