Développements limités

Opérations sur les développements limités : Composition de DL - Exercice 1

15 min
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Question 1

Déterminer le développement limité à l'ordre 33 au voisinage de 00 de la fonction f:x↦ln⁡(1+sin⁡(x))f:x\mapsto \ln\left(1+\sin\left(x\right)\right) .

Correction
    ff et gg désignent deux fonctions définies au voisinage de 00 et admettant un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 ( où n∈Nn\in \mathbb{N} ) de la forme f(x)=An(x)+∘(xn)f\left(x\right)=A_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) et g(x)=Bn(x)+∘(xn)g\left(x\right)=B_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) .
    On suppose que f(0)=0f\left(0\right)=0 .
    La fonction g∘fg\circ f admet un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 de partie régulière Bn∘AnB_{n}\circ A_{n} en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à n+1n+1 .
Soit f(x)=ln⁡(1+sin⁡(x))f\left(x\right)=\ln\left(1+\sin\left(x\right)\right) .
On a : f(x)=(g∘h)(x)f\left(x\right)=\left(g\circ h\right)\left(x\right) où h:x↦sin⁡(x)h:x\mapsto \sin\left(x\right) et g:x↦ln⁡(1+x)g:x\mapsto \ln\left(1+x\right). De plus, h(0)=0h\left(0\right)=0.
Au voisinage de 00 :
sin⁡(x)=x−x36+∘(x3)\sin\left(x\right)=x-\frac{x^3}{6}+\circ \left(x^3\right)
ln⁡(1+X)=X−12X2+13X3+∘(X3)\ln\left(1+X\right)=X-\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{3}X^3+\circ \left(X^3\right)
On va pouvoir remplacer XX par x−x36 x - \dfrac{x^3}{6} car on a :
lim⁡x⟶0sin⁡(x)=lim⁡x⟶0(x−x36+∘(x3))=0\lim_{x \longrightarrow 0} \sin(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( x - \dfrac{x^3}{6} + \circ(x^3) \right) = 0
Ainsi, il est possible d'écrire :
(g∘h)(x)=(x−x36)−12(x−x36)2+13(x−x36)3+∘(x3)\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\frac{1}{2}{\left(x-\frac{x^3}{6}\right)}^2+\frac{1}{3}{\left(x-\frac{x^3}{6}\right)}^3+\circ \left(x^3\right)
Il faut maintenant développer l'expression en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à 4 .
Soit :
f(x)=x−12x2+16x3+∘(x3)f\left(x\right)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\circ \left(x^3\right)
Question 2

Déterminer le développement limité à l'ordre 44 au voisinage de 00 de la fonction f:x↦ecos⁡(x)−2f:x\mapsto e^{\cos\left(x\right)-2} .

Correction
    ff et gg désignent deux fonctions définies au voisinage de 00 et admettant un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 ( où n∈Nn\in \mathbb{N} ) de la forme f(x)=An(x)+∘(xn)f\left(x\right)=A_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) et g(x)=Bn(x)+∘(xn)g\left(x\right)=B_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) .
    On suppose que f(0)=0f\left(0\right)=0 .
    La fonction g∘fg\circ f admet un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 de partie régulière Bn∘AnB_{n}\circ A_{n} en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à n+1n+1 .
Soit f(x)=ecos⁡(x)−2f\left(x\right)=e^{\cos\left(x\right)-2} que l'on peut également écrire f(x)=e−1ecos⁡(x)−1f\left(x\right)=e^{-1}e^{\cos\left(x\right)-1}
On a : f(x)=e−1×(g∘h)(x)f\left(x\right)=e^{-1}\times \left(g\circ h\right)\left(x\right) où h:x↦cos⁡(x)−1h:x\mapsto \cos\left(x\right)-1 et g:x↦exg:x\mapsto e^{x}.
Au voisinage de 00 :
cos⁡(x)=1−x22+x424+∘(x4)\cos\left(x\right)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\circ \left(x^4\right) donc cos⁡(x)−1=−x22+x424+∘(x4)\cos\left(x\right)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\circ \left(x^4\right)
eX=1+X+X22+X36+X424+∘(X4)e^X=1+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{6}+\frac{X^4}{24}+\circ \left(X^4\right)
On va pouvoir remplacer XX par −x22+x424 -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} car on a :
lim⁡x⟶0cos⁡(x)−1=lim⁡x⟶0(−x22+x424+∘(x4))=0\lim_{x \longrightarrow 0} \cos\left(x\right)-1 = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\circ \left(x^4\right) \right) = 0
Ainsi, il est possible d'écrire :
ecos⁡(x)−1=1+(−x22+x424)+12(−x22+x424)2+16(−x22+x424)3+124(−x22+x424)4+∘(x4)e^{\cos\left(x\right)-1}=1+\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)^{2}+\frac{1}{6}\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)^{3}+\frac{1}{24}\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)^{4}+\circ \left(x^4\right)
Il faut maintenant développer l'expression en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à 5 .
Ce qui nous donne :
ecos⁡(x)−1=1−x22+x46+∘(x4)e^{\cos\left(x\right)-1}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{6}+\circ \left(x^4\right)
Enfin :
e−1ecos⁡(x)−1=e−1(1−x22+x46+∘(x4))e^{-1}e^{\cos\left(x\right)-1}=e^{-1}\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{6}+\circ \left(x^4\right)\right)
Finalement :
f(x)=e−1−x22e−1+x46e−1+∘(x4)f\left(x\right)=e^{-1}-\frac{x^2}{2}e^{-1}+\frac{x^4}{6}e^{-1}+\circ \left(x^4\right)

Question 3

Donner un D.L. à l'ordre 3, au voisinage de 00, de f(x)=1+arctan⁡(x)f(x) = \sqrt{1+\arctan(x)}.

Correction
    ff et gg désignent deux fonctions définies au voisinage de 00 et admettant un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 ( où n∈Nn\in \mathbb{N} ) de la forme f(x)=An(x)+∘(xn)f\left(x\right)=A_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) et g(x)=Bn(x)+∘(xn)g\left(x\right)=B_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) .
    On suppose que f(0)=0f\left(0\right)=0 .
    La fonction g∘fg\circ f admet un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 de partie régulière Bn∘AnB_{n}\circ A_{n} en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à n+1n+1 .
Soit f(x)=1+arctan⁡(x)f\left(x\right)=\sqrt{1+\arctan(x)} .
On a : f(x)=(g∘h)(x)f\left(x\right)=\left(g\circ h\right)\left(x\right) où h:x↦arctan⁡(x)h:x\mapsto \arctan(x) et g:x↦1+xg:x\mapsto \sqrt{1+x}. De plus, h(0)=0h\left(0\right)=0.
Au voisinage de 00 :
arctan⁡(x)=x−x33+∘(x3)\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\circ \left(x^3\right)
1+X=1+X2−X28+X316+∘(X3) \sqrt{1+X}=1+\frac{X}{2}-\frac{X^2}{8}+\frac{X^3}{16}+\circ \left(X^3\right)
On va pouvoir remplacer XX par x−x33+x316x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^3}{16} car on a :
lim⁡x⟶0arctan⁡(x)=lim⁡x⟶0(x−x33+∘(x3))=0\lim_{x \longrightarrow 0} \arctan(x) = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( x-\frac{x^3}{3}+\circ \left(x^3\right) \right) = 0
Ainsi, il est possible d'écrire :
f(x)=1+x−x332−(x−x33)28+(x−x33)316+∘(x3)f\left(x\right)= 1+\frac{x-\frac{x^3}{3}}{2}-\frac{\left(x-\frac{x^3}{3}\right)^2}{8}+\frac{\left(x-\frac{x^3}{3}\right)^3}{16}+\circ \left(x^3\right)
Il faut maintenant développer l'expression en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à 4 .
Ce qui nous donne :
f(x)=1+12x−16x3−18x2+116x3+∘(x3)f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3+\circ \left(x^3\right)
Ainsi :
f(x)=1+12x−18x2−548x3+∘(x3)f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2-\frac{5}{48}x^3+\circ \left(x^3\right)
Question 4

Donner un D.L. à l'ordre 4, au voisinage de 00, de f(x)=11+exf\left(x\right)=\frac{1}{1+e^x}.

Correction
    ff et gg désignent deux fonctions définies au voisinage de 00 et admettant un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 ( où n∈Nn\in \mathbb{N} ) de la forme f(x)=An(x)+∘(xn)f\left(x\right)=A_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) et g(x)=Bn(x)+∘(xn)g\left(x\right)=B_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) .
    On suppose que f(0)=0f\left(0\right)=0 .
    La fonction g∘fg\circ f admet un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 de partie régulière Bn∘AnB_{n}\circ A_{n} en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à n+1n+1 .
Soit f(x)=11+exf\left(x\right)=\frac{1}{1+e^x}
On a : f(x)=(g∘h)(x)f\left(x\right)=\left(g\circ h\right)\left(x\right) où h:x↦exh:x\mapsto e^x et g:x↦11+xg:x\mapsto \frac{1}{1+x}
Au voisinage de 00 :
ex=1+x+x22+x36+x424+∘(x4)e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\circ \left(x^4\right)
11+X=1−X+X2−X3+X4+∘(X4)\frac{1}{1+X}=1-X+X^2-X^3+X^4+\circ \left(X^4\right)
Il vient alors que :
(g∘h)(x)=11+1+x+x22+x36+x424+∘(x4)\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\frac{1}{1+1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\circ \left(x^4\right)}
(g∘h)(x)=12+x+x22+x36+x424+∘(x4)\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\frac{1}{2+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\circ \left(x^4\right)}
(g∘h)(x)=12×(11+x2+x24+x312+x448+∘(x4))\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{48}+\circ \left(x^4\right)}\right)
On va pouvoir remplacer XX par x2+x24+x312+x448\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{48} car on a : lim⁡x⟶0(x2+x24+x312+x448)=0 \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{48} \right) = 0
Ainsi, il est possible d'écrire :
(g∘h)(x)=12×(1−(x2+x24+x312+x448)+(x2+x24+x312+x448)2−(x2+x24+x312+x448)3+(x2+x24+x312+x448)4)+∘(x4)\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \left(1-\left(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{48}\right)+{\left(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{48}\right)}^2-{\left(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{48}\right)}^3+{\left(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{48}\right)}^4\right)+\circ \left(x^4\right)
Il faut maintenant développer l'expression en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à 5 .
Finalement :
f(x)=12−x4+x348+∘(x4)f\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{x}{4}+\frac{x^3}{48}+\circ \left(x^4\right)

Question 5

Donner un D.L. à l'ordre 3, au voisinage de 00, de f(x)=11+1+xf\left(x\right)=\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}.

Correction
    ff et gg désignent deux fonctions définies au voisinage de 00 et admettant un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 ( où n∈Nn\in \mathbb{N} ) de la forme f(x)=An(x)+∘(xn)f\left(x\right)=A_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) et g(x)=Bn(x)+∘(xn)g\left(x\right)=B_{n}\left(x\right)+\circ \left(x^n\right) .
    On suppose que f(0)=0f\left(0\right)=0 .
    La fonction g∘fg\circ f admet un développement limité à l'ordre nn au voisinage de 00 de partie régulière Bn∘AnB_{n}\circ A_{n} en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à n+1n+1 .
Soit f(x)=11+1+xf\left(x\right)=\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}
On a : f(x)=(g∘h)(x)f\left(x\right)=\left(g\circ h\right)\left(x\right) où h:x↦1+xh:x\mapsto \sqrt{1+x} et g:x↦11+xg:x\mapsto \frac{1}{1+x}
Au voisinage de 00 :
1+x=1+x2−x28+x316+∘(x3)\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+\circ \left(x^3\right)
11+X=1−X+X2−X3+∘(X3)\frac{1}{1+X}=1-X+X^2-X^3+\circ \left(X^3\right)
Il vient alors que :
(g∘h)(x)=11+1+x2−x28+x316+∘(x3)\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\frac{1}{1+1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+\circ \left(x^3\right)}
(g∘h)(x)=12+x2−x28+x316+∘(x3)\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\frac{1}{2+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+\circ \left(x^3\right)}
(g∘h)(x)=12×1(1+x4−x216+x332+∘(x3))\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{\left(1+\frac{x}{4}-\frac{x^2}{16}+\frac{x^3}{32}+\circ \left(x^3\right)\right)}
On va pouvoir remplacer XX par x4−x216+x332\frac{x}{4}-\frac{x^2}{16}+\frac{x^3}{32} car on a : lim⁡x⟶0(x4−x216+x332)=0 \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \frac{x}{4}-\frac{x^2}{16}+\frac{x^3}{32} \right) = 0
Ainsi, il est possible d'écrire :
(g∘h)(x)=12×(1−(x4−x216+x332)+(x4−x216+x332)2−(x4−x216+x332)3)+∘(x3)\left(g\circ h\right)\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \left(1-\left(\frac{x}{4}-\frac{x^2}{16}+\frac{x^3}{32}\right)+{\left(\frac{x}{4}-\frac{x^2}{16}+\frac{x^3}{32}\right)}^2-{\left(\frac{x}{4}-\frac{x^2}{16}+\frac{x^3}{32}\right)}^3\right)+\circ \left(x^3\right)
Il faut maintenant développer l'expression en supprimant tous les termes de degré supérieur au égal à 4 .
Finalement :
f(x)=12−18x+116x2−5128x3+∘(x3)f\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}x^2-\frac{5}{128}x^3+\circ \left(x^3\right)