Développements limités

Opérations sur les développements limités : Combinaison linéaire de DL ; produit de DL ; quotient de DL - Exercice 2

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Question 1

Donner un D.L. à l'ordre 2, au voisinage de 00, de f(x)=1−e−xxf\left(x\right)=\frac{1-e^{-x}}{x} .

Correction
Au voisinage de 00, on peut écrire, à l'ordre 33, que :
eX=1+X+X22+X36+∘(X3)e^X=1+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{6}+\circ \left(X^3\right) . Si on pose X=−xX=-x . Lorsque xx tend vers 00 alors −x-x tend vers 0. Autrement XX tend vers 0.
Il vient alors que :
e−x=1−x+(−x)22+(−x)36+∘(x3)e^{-x}=1-x+\frac{\left(-x\right)^2}{2}+\frac{\left(-x\right)^3}{6}+\circ \left(x^3\right)
e−x=1−x+x22−x36+∘(x3)e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\circ \left(x^3\right)
e−x−1=−x+x22−x36+∘(x3)e^{-x}-1=-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\circ \left(x^3\right)
1−e−x=x−x22+x36+∘(x3)1-e^{-x}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\circ \left(x^3\right)
Finalement, en divisant par xx, on obtient :
f(x)=1−x2+x26+∘(x2)f\left(x\right)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\circ \left(x^2\right)