Opérations sur les développements limités : Combinaison linéaire de DL ; produit de DL ; quotient de DL - Exercice 1

Au voisinage de $$0$$, on peut écrire, à l'ordre $$3$$, que :
$$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + x^3 \varepsilon(x)$$
$$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + x^{3} \varepsilon(x)$$
$$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + x^{3} \varepsilon(x)$$
De fait :
$$f(x) = {\color{black}{e^x}} - {\color{red}{\cos(x)}} - {\color{blue}{\sin(x)}} = {\color{black}{1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}}} - \left( {\color{red}{1 - \dfrac{x^2}{2} }} \right) - \left( {\color{blue}{x - \dfrac{x^3}{6} }} \right)+ x^{3} \varepsilon(x)$$
En simplifiant, on trouve que :
$$f(x) = e^x - \cos(x) - \sin(x) = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + x^{3} \varepsilon(x)$$
Soit :
$$f(x) = e^x - \cos(x) - \sin(x) = \dfrac{2x^2}{2} + \dfrac{2x^3}{6} + x^{3} \varepsilon(x)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = e^x - \cos(x) - \sin(x) = x^2 + \dfrac{x^3}{3} + x^{3} \varepsilon(x) }}}$$

Au voisinage de $$0$$, on peut écrire que :
$$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + x^{5} \varepsilon(x)$$
$$\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^{5} \varepsilon(x)$$
Ainsi :
$$f(x) = \cos(x) \times \dfrac{1}{1-x} = \left( 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right) \times \left( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 \right) + x^{5} \varepsilon(x)$$
On va alors développer, mais on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égale à $$5$$. On a alors :
$$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 - \dfrac{x^2}{2} \left( 1 + x + x^2 + x^3\right) + \dfrac{x^4}{24} \left( 1 + x \right) + x^{5} \varepsilon(x)$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{2} - \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^5}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \dfrac{x^5}{24} + x^{5} \varepsilon(x)$$
On obtient donc :
$$f(x) = 1 + x + x^2 - \dfrac{x^2}{2} + x^3 - \dfrac{x^3}{2} + x^4 - \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^4}{24} + x^5 - \dfrac{x^5}{2} + \dfrac{x^5}{24} + x^{5} \varepsilon(x)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{2} + \dfrac{13 x^4}{24} + \dfrac{13x^5}{24} + x^{5} \varepsilon(x)}}}$$

Au voisinage de $$0$$, on peut écrire que :
$$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} + x^{5} \varepsilon(x)$$
$$\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^{5} \varepsilon(x)$$
Ainsi :
$$f(x) = \sin(x) \times \dfrac{1}{1-x} = \left( x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} \right) \times \left( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 \right) + x^{5} \varepsilon(x)$$
On va alors développer, mais on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égale à $$5$$. On a alors :
$$f(x) = x \left( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 \right) - \dfrac{x^3}{6} \left( 1 + x + x^2 \right) + \dfrac{x^5}{120} \left( 1 \right) + x^{5} \varepsilon(x)$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 - \dfrac{x^3}{6} - \dfrac{x^4}{6} - \dfrac{x^5}{6} + \dfrac{x^5}{120} + x^{5} \varepsilon(x)$$
On obtient donc :
$$f(x) = x + x^2 + x^3 - \dfrac{x^3}{6} + x^4 - \dfrac{x^4}{6} + x^5 - \dfrac{x^5}{6} + \dfrac{x^5}{120} + x^{5} \varepsilon(x)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = x + x^2 + \dfrac{5x^3}{6} + \dfrac{5x^4}{6} + \dfrac{101x^5}{120} + x^{5} \varepsilon(x)}}}$$

On voisinage de $$0$$, on peut écrire, à l'ordre $$4$$, que :
$$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + x^4 \varepsilon(x)$$
$$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + x^4 \varepsilon(x)$$
De fait :
$$f(x) = {\color{red}{e^x}} - {\color{blue}{\ln(1+x)}} = {\color{red}{1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} }} - \left( {\color{blue}{x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} }} \right) + x^{4} \varepsilon(x)$$
D'où :
$$f(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} - x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{4} + x^{4} \varepsilon(x)$$
Ainsi :
$$f(x) = 1 + x - x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{24} + \dfrac{x^4}{4} + x^{4} \varepsilon(x)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = 1 + x^2 -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{7x^4}{24} + x^{4} \varepsilon(x) }}}$$

Au voisinage de $$0$$, on peut écrire que :
$$f(x) = (1+x) \times \dfrac{1}{1-x}$$
Avec :
$$\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^{3} \varepsilon(x)$$
Ainsi :
$$f(x) = (1+x) \times \dfrac{1}{1-x} = \left( 1 + x \right) \times \left( 1 + x + x^2 + x^3 \right) + x^{3} \varepsilon(x)$$
On va alors développer, mais on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égale à $$3$$. On a alors :
$$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x \left( 1 + x + x^2 \right) + x^{3} \varepsilon(x)$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x + x^2 + x^3 + x^{3} \varepsilon(x)$$
Donc :
$$f(x) = 1 + x + x + x^2 + x^2 + x^3 + x^3 + x^{3} \varepsilon(x)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = 1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + x^{3} \varepsilon(x) }}}$$