On monte encore la difficulté ! - Exercice 1

On a :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} + o(x^5)} - \dfrac{1}{x}$$
Soit :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + o(x^4) \right)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}\dfrac{1}{ 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + o(x^4)} - \dfrac{1}{x}$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{1}{ 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + o(x^4)} - 1 \right) = \dfrac{1}{x} \left( \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + o(x^4) \right)^{-1} - 1 \right)$$
Donc :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( \left( 1 - \left[\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120} + o(x^4) \right]\right)^{-1} - 1 \right)$$
Or, on sait que :
$$(1-X)^{-1} = 1+X+X^2+o(X^2)$$. Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0}\left[\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120} + o(x^4) \right] = 0$$ on va donc pouvoir poser $$X = \dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120}$$
On a alors :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( 1 + \left[\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120} \right] + \left[\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120} \right]^2 + o(x^8) - 1 \right)$$
En $${\color{red}{\textbf{se limitant aux termes de degrés inférieur ou égal à quatre}}}$$, on obtient :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( 1 + \left[\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120} \right] + \left[\dfrac{x^2}{6} \right]^2 + o(x^4) - 1 \right)$$
D'où :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( 1 + \dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120} + \dfrac{x^4}{36} + o(x^4) - 1 \right)$$
Soit encore :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{120} + \dfrac{x^4}{36} + o(x^4) \right)$$
On obtient alors :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{6} - \dfrac{x^3}{120} + \dfrac{x^3}{36} + o(x^3)$$
Avec :
$$- \dfrac{x^3}{120} + \dfrac{x^3}{36} = \left( \dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{120} \right) x^3 = \left( \dfrac{120-36}{36 \times 120} \right) x^3 = \left( \dfrac{84}{36 \times 120} \right) x^3 = \left( \dfrac{42}{18 \times 120} \right) x^3 = \left( \dfrac{21}{9 \times 120} \right) x^3$$
Soit :
$$- \dfrac{x^3}{120} + \dfrac{x^3}{36} = \left( \dfrac{7}{3 \times 120} \right) x^3 = \left( \dfrac{7}{360} \right) x^3 = \dfrac{7}{360} x^3$$
On trouve alors que :
$$f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{6} + \dfrac{7}{360} x^3 + o(x^3)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{360} x^3 + o(x^3)}}}$$

On a :
$$f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24}x^4 + o(x^4)} = \left( 1 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24}x^4 + o(x^4) \right)^{-1}$$
Soit :
$$f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24}x^4 + o(x^4)} = \left( 1 - \left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{24}x^4 \right] \right)^{-1} + o(x^4)$$
Or, on sait que :
$$(1-X)^{-1} = 1+X+X^2+o(X^2)$$. Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0}\left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{24}x^4 \right] = 0$$ on va donc pouvoir poser $$X = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{24}x^4$$
On a alors :
$$f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = 1 + \left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{24}x^4 \right] + \left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{24}x^4 \right]^2 + o(x^8)$$
En $${\color{red}{\textbf{se limitant aux termes de degrés inférieur ou égal à quatre}}}$$, on obtient :
$$f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = 1 + \left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{24}x^4 \right] + \left[\dfrac{1}{2}x^2 \right]^2 + o(x^4)$$
Soit :
$$f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = 1 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{24}x^4 + \dfrac{1}{4}x^4 + o(x^4)$$
Donc :
$$f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \left( 1 - \dfrac{1}{6}\right) \dfrac{1}{4}x^4 + o(x^4)$$
D'où :
$$f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \left( \dfrac{5}{6}\right) \dfrac{1}{4}x^4 + o(x^4)$$
Il vient alors :
$$f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{6 \times 4}x^4 + o(x^4)$$
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} = 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{24}x^4 + o(x^4)}}}$$

On a :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + o(x^5)} - \dfrac{1}{x}$$
Soit :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}\dfrac{1}{ 1 + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4)} - \dfrac{1}{x}$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{1}{ 1 + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4)} - 1 \right) = \dfrac{1}{x} \left( \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right)^{-1} - 1 \right)$$
Donc :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( \left( 1 + \left[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right]\right)^{-1} - 1 \right)$$
Or, on sait que :
$$(1+X)^{-1} = 1-X+X^2+o(X^2)$$. Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0}\left[\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right] = 0$$ on va donc pouvoir poser $$X = \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15}$$
On a alors :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( 1 - \left[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} \right] + \left[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} \right]^2 + o(x^8) - 1 \right)$$
En $${\color{red}{\textbf{se limitant aux termes de degrés inférieur ou égal à quatre}}}$$, on obtient :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( 1 - \left[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} \right] + \left[\dfrac{x^2}{3} \right]^2 + o(x^4) - 1 \right)$$
D'où :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( 1 - \dfrac{x^2}{3} - \dfrac{2x^4}{15} + \dfrac{x^4}{9} + o(x^4) - 1 \right)$$
Soit encore :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left( - \dfrac{x^2}{3} - \dfrac{2x^4}{15} + \dfrac{x^4}{9} + o(x^4) \right)$$
On obtient alors :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = - \dfrac{x}{3} - \dfrac{2x^3}{15} + \dfrac{x^3}{9} + o(x^3)$$
Avec :
$$-\dfrac{2x^3}{15} + \dfrac{x^3}{9} = \left( \dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{15} \right) x^3 = \left( \dfrac{15-18}{15 \times 9} \right) x^3 = \left( \dfrac{-3}{15 \times 9} \right) x^3 = \left( \dfrac{-1}{15 \times 3} \right) x^3 = - \dfrac{1}{45} x^3$$
On trouve alors que :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = - \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{45} x^3 + o(x^3)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \dfrac{1}{\tan(x)} - \dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{45} x^3 + o(x^3)}}}$$

On a :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{\left(x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + o(x^5)\right)^2} - \dfrac{1}{x^2}$$
Soit :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2 \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right)^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2}\dfrac{1}{ \left(1 + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right)^2} - \dfrac{1}{x^2}$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \left( \dfrac{1}{ \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right)^2} - 1 \right) = \dfrac{1}{x^2} \left( \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right)^{-2} - 1 \right)$$
Donc :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \left( \left( 1 + \left[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right]\right)^{-2} - 1 \right)$$
Or, on sait que :
$$(1+X)^{-2} = 1-2X+3X^2+o(X^2)$$. Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0}\left[\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{2x^4}{15} + o(x^4) \right] = 0$$ on va donc pouvoir poser $$X = \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15}$$
On a alors :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \left( 1 - 2\left[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} \right] + 3\left[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} \right]^2 + o(x^8) - 1 \right)$$
En $${\color{red}{\textbf{se limitant aux termes de degrés inférieur ou égal à quatre}}}$$, on obtient :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \left( 1 - 2\left[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2x^4}{15} \right] + 3\left[\dfrac{x^2}{3} \right]^2 + o(x^4) - 1 \right)$$
D'où :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \left( 1 - \dfrac{2x^2}{3} - \dfrac{4x^4}{15} + \dfrac{3x^4}{9} + o(x^4) - 1 \right)$$
Soit encore :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \left( - \dfrac{2x^2}{3} - \dfrac{4x^4}{15} + \dfrac{x^4}{3} + o(x^4) \right)$$
On obtient alors :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = - \dfrac{2}{3} - \dfrac{4x^2}{15} + \dfrac{x^2}{3} + o(x^2)$$
Avec :
$$-\dfrac{4x^2}{15} + \dfrac{x^2}{3} = \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{15} \right) x^2 = \left( \dfrac{15-12}{15 \times 3} \right) x^2 = \left( \dfrac{3}{15 \times 3} \right) x^2 = \left( \dfrac{1}{15} \right) x^2 = \dfrac{1}{15} x^2$$
On trouve alors que :
$$f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{15} x^2 + o(x^2)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{15} x^2 + o(x^2)}}}$$

Lorsque $$x$$ tend vers $$0$$, on obtient $$\arctan(1) \neq 0$$. C'est pourquoi on va donc passer par la dérivation, puis l'intégration.
On a alors, pour $$x\neq 1$$ :
$$f'(x) = \left(\arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\right)'= \dfrac{\left(\dfrac{1}{1-x}\right)'}{1+\left(\dfrac{1}{1-x}\right)^2} = \dfrac{\dfrac{-(1-x)'}{(1-x)^2}}{\dfrac{(1-x)^2+1}{(1-x)^2}} = \dfrac{-(1-x)'}{(1-x)^2+1} = \dfrac{1}{1-2x+x^2+1}$$
Soit :
$$f'(x) = \left(\arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\right)'= \dfrac{1}{2-2x+x^2} = \dfrac{1}{2\left( 1-x+\dfrac{1}{2}x^2\right)} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1-x+\dfrac{1}{2}x^2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1- \left[x-\dfrac{1}{2}x^2\right]}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \left(\arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\right)'= \dfrac{1}{2} \left(1- \left[x-\dfrac{1}{2}x^2\right] \right)^{-1}$$
Or, on sait que :
$$(1-X)^{-1} = 1+X+X^2+X^3+o(X^3)$$. Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0}\left[x-\dfrac{1}{2}x^2 \right] = 0$$ on va donc pouvoir poser $$X = x-\dfrac{1}{2}x^2$$
On a alors :
$$f'(x) = \left(\arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\right)'= \dfrac{1}{2} \left( 1+\left[x-\dfrac{1}{2}x^2 \right]+\left[x-\dfrac{1}{2}x^2 \right]^2+\left[x-\dfrac{1}{2}x^2 \right]^3+o(x^6) \right)$$
En $${\color{red}{\textbf{se limitant aux termes de degrés inférieur ou égal à trois}}}$$, on obtient :
$$f'(x) = \left(\arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\right)'= \dfrac{1}{2} \left( 1+x-\dfrac{1}{2}x^2 + x^2-x^3 +x^3+o(x^3) \right)$$
En simplifiant :
$$f'(x) = \left(\arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\right)'= \dfrac{1}{2} \left( 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + o(x^3) \right)$$
D'où :
$$f'(x) = \left(\arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\right)'= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + o(x^3)$$
En intégrant, on obtient alors :
$$f(x) = \left(\arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\right) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 + o(x^4) + f(0)$$
Avec :
$$f(0) = \arctan\left(\dfrac{1}{1-0}\right) = \arctan\left(\dfrac{1}{1}\right) = \arctan\left(1\right) = \dfrac{\pi}{4}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = \arctan\left(\dfrac{1}{1-x}\right) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 + o(x^4) }}}$$