On monte en difficulté ! - Exercice 1

On sait que :
$$\cosh(x) + \sinh(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} + \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{e^x + e^{-x} + e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{e^x + e^x}{2} = \dfrac{2e^x}{2} = e^x$$
Soit encore :
$$\cosh(x) + \sinh(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + \dfrac{1}{24}x^4 + \dfrac{1}{120}x^5 + o(x^5)$$
Or, la fonction $$x \longmapsto \cosh(x)$$ est paire, donc elle doit être constitué par un D.L. uniquement composé de puissances de $$x$$ paires. Ensuite, la fonction $$x \longmapsto \sinh(x)$$ est impaire, donc elle doit être constitué par un D.L. uniquement composé de puissances de $$x$$ impaires. Ainsi, dans le D.L. de l'exponentielle, en $$0$$, on ne va conserver que les termes pairs pour constitué celui de la fonction $$x \longmapsto \cosh(x)$$. On a donc (en se souvenent que $$1 = x^0$$) :
$${\color{red}{\boxed{ \cosh(x) = 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24}x^4 + o(x^5)}}}$$
et de fait :
$${\color{red}{\boxed{ \sinh(x) = x + \dfrac{1}{6}x^3 + \dfrac{1}{120}x^5 + o(x^5)}}}$$

On sait que :
$$e^x = 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3)$$
Puis que :
$$\ln(1+X) = X - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{3}X^3 + o(X^3)$$
Ainsi, en posant $$X = e^x$$, on a :
$$\ln(1+e^x) = \ln \left( 1 + 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3) \right)$$
Donc :
$$\ln(1+e^x) = \ln \left( 2 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3) \right)$$
Soit encore :
$$\ln(1+e^x) = \ln \left( 2 \left( 1 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 + o(x^3) \right) \right)$$
En faisant usage des propriétés des logarithmes, on trouve que :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \ln \left( 1 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 + o(x^3) \right)$$
Or, on constate que $$\lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 + o(x^3) \right) = 0$$. Donc, dans le d.L. de $$\ln(1+X)$$ on va donc pouvoir substituer $$X$$ par $$\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3$$. On a alors :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 \right) - \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 \right)^2 + \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 \right)^3 + o(x^3)$$
En se limitant $${\color{red}{\textbf{aux termes d'ordre inférieur ou égal à trois}}}$$, on trouve que :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 - \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 \right)^2 + \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}x \right)^3 + o(x^3)$$
Ce qui nous permet d'avoir :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 - \dfrac{x^2}{8}\left( 1 + \dfrac{1}{2}x \right)^2 + \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{8}x^3 + o(x^3)$$
Donc :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 - \dfrac{x^2}{8}\left( 1 + x \right) + \dfrac{1}{24}x^3 + o(x^3)$$
En développant :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{12}x^3 - \dfrac{x^2}{8} - \dfrac{x^3}{8} + \dfrac{1}{24}x^3 + o(x^3)$$
En regroupant les termes de même puissance de $$x$$, on trouve que :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \dfrac{1}{2}x + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} \right)x^2 + \left( \dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{24} \right)x^3 + o(x^3)$$
Soit encore :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \dfrac{1}{2}x + \left( \dfrac{1}{8} \right)x^2 + \left( \dfrac{2-3+1}{24} \right)x^3 + o(x^3)$$
Dès lors, on trouve que :
$$\ln(1+e^x) = \ln(2) + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{8} x^2 + \left(0\right)x^3 + o(x^3)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \ln(1+e^x) = \ln(2) + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{8} x^2 + o(x^3) }}}$$

On a :
$$\left( \arctan \right)'(X) = \dfrac{1}{1+X^2}$$
Donc :
$$\left( \arctan\left( e^x \right) \right)' = \dfrac{\left( e^x \right)'}{1+\left( e^x \right)^2}$$
Ce qui nous donne :
$$\left( \arctan\left( e^x \right) \right)' = \dfrac{e^x}{1+e^{2x}}$$
Commençons par déterminer le D.L., à l'ordre $$3$$ et en $$0$$, associé à $$\dfrac{1}{1+e^{2x}}$$. Pour cela, on sait que :
$$\dfrac{1}{1+Y} = 1 - Y + Y^2 - Y^3 + o(Y^3)$$
Mais aussi que :
$$e^{2x} = 1 + 2x + \dfrac{1}{2}(2x)^2 + \dfrac{1}{6}(2x)^3 + o(x^3) = 1 + 2x + 2x^2 + \dfrac{4}{3}x^3 + o(x^3)$$
Donc :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{1 + 1 + 2x + 2x^2 + \dfrac{4}{3}x^3 + o(x^3)} = \dfrac{1}{2 + 2x + 2x^2 + \dfrac{4}{3}x^3 + o(x^3)}$$
En factorisant, on trouve que :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2 \left( 1 + x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3 + o(x^3) \right) } = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{ 1 + x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3 + o(x^3)}$$
On a donc :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{ 1 + {\color{blue}{x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3 + o(x^3)}}}$$
Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0} \left( {\color{blue}{x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3 + o(x^3)}} \right) = 0$$, on peut donc faire la substitution $$Y = {\color{blue}{x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3}}$$. On a alors :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 - \left( {\color{blue}{x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3}} \right) + \left( {\color{blue}{x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3}} \right)^2 - \left( {\color{blue}{x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3}} \right)^3 + o(x^3)\right)$$
En se limitant $${\color{red}{\textbf{aux termes d'ordre inférieur ou égal à trois}}}$$, on trouve que :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 - \left( {\color{blue}{x + x^2 + \dfrac{2}{3}x^3}} \right) + \left( {\color{blue}{x + x^2 }}\right)^2 - \left( {\color{blue}{x}}\right)^3 + o(x^3)\right)$$
Donc :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 - x - x^2 - \dfrac{2}{3}x^3 + \left( x^2 + 2x^3\right) - x^3 + o(x^3)\right)$$
En regroupant les termes de mêmes puissances de $$x$$, on trouve que :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 - x - x^2 + x^2 - \dfrac{2}{3}x^3 + 2x^3 - x^3 + o(x^3)\right)$$
Soit :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 - x - \dfrac{2}{3}x^3 + x^3 + o(x^3)\right)$$
Soit encore :
$$\dfrac{1}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 - x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)\right)$$
Donc, par produit, on en déduit maintenant que :
$$\dfrac{e^x}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 - x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)\right) \times \left( 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3) \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{e^x}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} \times \left( 1 - x + \dfrac{1}{3}x^3 \right) \times \left( 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 \right) + o(x^3)$$
En se limitant $${\color{red}{\textbf{aux termes d'ordre inférieur ou égal à trois}}}$$, on trouve que :
$$\dfrac{2e^x}{1+e^{2x}} = 1\left( 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 \right) -x\left( 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 \right) + \dfrac{1}{3}x^3\left( 1 \right) + o(x^3)$$
En développant :
$$\dfrac{2e^x}{1+e^{2x}} = 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3 - x - x^2 - \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{2e^x}{1+e^{2x}} = 1 - \dfrac{1}{2}x^2 + 0x^3 + o(x^3)$$
On en déduit alors que :
$$\dfrac{e^x}{1+e^{2x}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}x^2 + o(x^3)$$
En primitivant, on obtient donc :
$$\arctan\left( e^x \right) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{12}x^3 + o(x^4) + \arctan\left( e^0 \right)$$
Avec :
$$\arctan\left( e^0 \right) = \arctan\left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{4}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ \arctan\left( e^x \right) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{12}x^3 + o(x^4) }}}$$

On sait que :
$$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)$$
Donc :
$$\sqrt{\cos(x)} = \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} + o(x^4) \right)}$$
Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0} \left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} + o(x^4) \right) = 0$$ on va donc pouvoir poser $$X = \left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} + o(x^4) \right)$$ et faire usage du D.L. de $$\sqrt{1+X}$$ en zéro, à l'ordre $$2$$. On a :
$$\sqrt{1+X} = 1 - \dfrac{1}{2}X - \dfrac{1}{8}X^2 + o(X^2)$$
Donc :
$$\sqrt{\cos(x)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} + o(x^4) \right)} = 1 - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} \right) - \dfrac{1}{8}\left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} \right)^2 + o(x^4)$$
En se limitant $${\color{red}{\textbf{aux termes d'ordre inférieur ou égal à quatre}}}$$, on obtient :
$$\sqrt{\cos(x)} = 1 - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{24} \right) - \dfrac{1}{8}\left(\dfrac{x^2}{2} \right)^2 + o(x^4)$$
Soit :
$$\sqrt{\cos(x)} = 1 - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{48} - \dfrac{x^4}{32} + o(x^4) = 1 - \dfrac{x^2}{4} + \left(\dfrac{1}{48} - \dfrac{1}{32} \right)x^4 + o(x^4)$$
Soit encore :
$$\sqrt{\cos(x)} = 1 - \dfrac{x^2}{4} + \left(\dfrac{32 - 48}{48\times 32} \right)x^4 + o(x^4) = 1 - \dfrac{x^2}{4} + \left(\dfrac{-16}{96\times 16} \right)x^4 + o(x^4)$$
Donc :
$$\sqrt{\cos(x)} = 1 - \dfrac{x^2}{4} + \left(\dfrac{-1}{96} \right)x^4 + o(x^4)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \sqrt{\cos(x)} = 1 - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{96}x^4 + o(x^4) }}}$$

On a :
$$f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1+x}} = \sin(x) \times \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = \left( x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3) \right) \times \left( 1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{3x^2}{8} - \dfrac{5x^3}{16} + o(x^3) \right)$$
En se limitant $${\color{red}{\textbf{aux termes d'ordre inférieur ou égal à quatre}}}$$, on obtient :
$$f(x) = x \left( 1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{3x^2}{8} - \dfrac{5x^3}{16} \right) - \dfrac{x^3}{6} \left( 1 - \dfrac{x}{2} \right) + o(x^4)$$
Ce qui nous donne :
$$f(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{3x^3}{8} - \dfrac{5x^4}{16} - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{12} + o(x^4)$$
Soit encore :
$$f(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{3x^3}{8} - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{5x^4}{16} + o(x^4)$$
D'où :
$$f(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \left(\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{6} \right)x^3 + \left(\dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{16} \right)x^4 + o(x^4)$$
On trouve que :
$$f(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \left(\dfrac{18-8}{48} \right)x^3 + \left(\dfrac{16-60}{192} \right)x^4 + o(x^4)$$
Ainsi :
$$f(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \left(\dfrac{10}{48} \right)x^3 + \left(\dfrac{-44}{192} \right)x^4 + o(x^4)$$
Dès lors :
$$f(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \left(\dfrac{5 \times 2}{24 \times 2} \right)x^3 + \left(\dfrac{-11 \times 4}{48 \times 4} \right)x^4 + o(x^4)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1+x}} = x - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{24}x^3 - \dfrac{11}{48}x^4 + o(x^4) }}}$$