Développements limités

On continue encore les D.L. simples ! - Exercice 1

45 min
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Déterminer les D.L. des fonctions proposées.
Question 1

Déterminer le D.L., en zéro et à l'ordre 5, de f(x)=arctan(x)f(x) = \arctan(x).

Correction
On a :
(arctan)(x)=11+x2(\arctan)'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}
Or on a :
11+X=1X+X2X3+o(X3)\dfrac{1}{1+X} = 1-X+X^2-X^3+o(X^3)
Comme limx0x2=0\lim_{x \longrightarrow 0} x^2 = 0 alors on a le droit de poser X=x2X = x^2. On a alors, en se limitant à l'ordre 44 :
11+x2=1x2+x4+o(x4)\dfrac{1}{1+x^2} = 1-x^2+x^4+o(x^4)
Puis, par intégration, on trouve que :
arctan(x)=x13x3+15x5+o(x5)+arctan(0)\arctan(x) = x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5+o(x^5) + \arctan(0)
Or arctan(0)=0\arctan(0) = 0. Ainsi :
arctan(x)=x13x3+15x5+o(x5){\color{red}{\boxed{\arctan(x) = x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5+o(x^5)}}}
Question 2

Déterminer le D.L., en zéro et à l'ordre 5, de f(x)=arcsin(x)f(x) = \arcsin(x).

Correction
On a :
(arcsin)(x)=11x2(\arcsin)'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Or on a :
11+X=112X+38X2+o(X2)\dfrac{1}{\sqrt{1+X}} = 1-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{3}{8}X^2+o(X^2)
Comme limx0(x2)=0\lim_{x \longrightarrow 0} (-x^2) = 0 alors on a le droit de poser X=x2X = -x^2. On a alors, en se limitant à l'ordre 44 :
11x2=112(x2)+38(x2)2+o(x4)\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1-\dfrac{1}{2}(-x^2)+\dfrac{3}{8}(-x^2)^2+o(x^4)
Soit encore :
11x2=1+12x2+38x4+o(x4)\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{8}x^4+o(x^4)
Puis, par intégration, on trouve que :
arcsin(x)=x+16x3+38×5x5+o(x5)+arcsin(0)\arcsin(x) = x+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{3}{8 \times 5}x^5+o(x^5) + \arcsin(0)
Or arcsin(0)=0\arcsin(0) = 0. Ainsi :
arcsin(x)=x+16x3+340x5+o(x5){\color{red}{\boxed{\arcsin(x) = x+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{3}{40}x^5+o(x^5)}}}
Question 3

Déterminer le D.L., en zéro et à l'ordre 5, de f(x)=arccos(x)f(x) = \arccos(x).

Correction
On a :
(arccos)(x)=11x2(\arccos)'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Or on a :
11+X=1+12X38X2+o(X2)-\dfrac{1}{\sqrt{1+X}} = -1+\dfrac{1}{2}X-\dfrac{3}{8}X^2+o(X^2)
Comme limx0(x2)=0\lim_{x \longrightarrow 0} (-x^2) = 0 alors on a le droit de poser X=x2X = -x^2. On a alors, en se limitant à l'ordre 44 :
11x2=1+12(x2)38(x2)2+o(x4)-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -1+\dfrac{1}{2}(-x^2)-\dfrac{3}{8}(-x^2)^2+o(x^4)
Soit encore :
11x2=112x238x4+o(x4)-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -1-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{8}x^4+o(x^4)
Puis, par intégration, on trouve que :
arccos(x)=x16x338×5x5+o(x5)+arccos(0)\arccos(x) = -x-\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{3}{8 \times 5}x^5+o(x^5) + \arccos(0)
Or arcsin(0)=π2\arcsin(0) = \dfrac{\pi}{2}. Ainsi :
arccos(x)=π2x16x3340x5+o(x5){\color{red}{\boxed{\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{3}{40}x^5 + o(x^5)}}}
Question 4


Déterminer le D.L., en zéro et à l'ordre 5, de f(x)=argtanh(x)f(x) = \mathrm{argtanh}(x).

Correction
On sait que pour tout xx réel, on a :
argtanh(x)=12ln(1+x1x)\mathrm{argtanh}(x) = \dfrac{1}{2} \ln\left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)
Soit encore :
f(x)=argtanh(x)=12ln(1+x)12ln(1x)f(x) = \mathrm{argtanh}(x) = \dfrac{1}{2} \ln(1+x) - \dfrac{1}{2} \ln(1-x)
Or, on a :
ln(1+x)=xx22+x33+o(x3)\bullet \,\, \ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)
ln(1x)=ln(1+(x))=(x)(x)22+(x)33+o((x)3)=xx22x33+o(x3)\bullet \bullet \,\, \ln(1-x) = \ln(1+(-x)) = (-x) - \dfrac{(-x)^2}{2} + \dfrac{(-x)^3}{3} + o((-x)^3) = -x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)
Donc :
12ln(1+x)=12xx24+x36+o(x3)\bullet \,\, \dfrac{1}{2} \ln(1+x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)
12ln(1x)=12xx24x36+o(x3)\bullet \bullet \,\, \dfrac{1}{2}\ln(1-x) = - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)
Par soustraction, on trouve que :
f(x)=argtanh(x)=12xx24+x36+12x+x24+x36+o(x3)f(x) = \mathrm{argtanh}(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)
Par simplification, on trouve que :
f(x)=argtanh(x)=12x+x36+12x+x36+o(x3)f(x) = \mathrm{argtanh}(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)
Finalement :
argtanh(x)=x13x3+o(x3){\color{red}{\boxed{\mathrm{argtanh}(x) = x - \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)}}}
Question 5

Par une division suivant les puissances croissantes, déterminer le D.L., en zéro et à l'ordre 5, de f(x)=tan(x)f(x) = \tan(x).

Correction
On sait que :
tan(x)=sin(x)cos(x)\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
Avec :
sin(x)=xx36+x5120+o(x5)\bullet \,\, \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} + o(x^5)
cos(x)=1x22+x424+o(x5)\bullet \,\, \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^5)
Donc, on va effectuer la division euclidienne du développement limité de sin(x)\sin(x) par le développement limité de cos(x)\cos(x), selon les puissance croissante de xx. On a alors en limitant au termes de puissance 55 :

On en déduit donc que :
tan(x)=sin(x)cos(x)=x+x33+2x515+o(x5){\color{red}{\boxed{\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + o(x^5)}}}