On continue encore les D.L. simples ! - Exercice 1

On a :
$$(\arctan)'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$$
Or on a :
$$\dfrac{1}{1+X} = 1-X+X^2-X^3+o(X^3)$$
Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0} x^2 = 0$$ alors on a le droit de poser $$X = x^2$$. On a alors, en se limitant à l'ordre $$4$$ :
$$\dfrac{1}{1+x^2} = 1-x^2+x^4+o(x^4)$$
Puis, par intégration, on trouve que :
$$\arctan(x) = x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5+o(x^5) + \arctan(0)$$
Or $$\arctan(0) = 0$$. Ainsi :
$${\color{red}{\boxed{\arctan(x) = x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5+o(x^5)}}}$$

On a :
$$(\arcsin)'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Or on a :
$$\dfrac{1}{\sqrt{1+X}} = 1-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{3}{8}X^2+o(X^2)$$
Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0} (-x^2) = 0$$ alors on a le droit de poser $$X = -x^2$$. On a alors, en se limitant à l'ordre $$4$$ :
$$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1-\dfrac{1}{2}(-x^2)+\dfrac{3}{8}(-x^2)^2+o(x^4)$$
Soit encore :
$$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{8}x^4+o(x^4)$$
Puis, par intégration, on trouve que :
$$\arcsin(x) = x+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{3}{8 \times 5}x^5+o(x^5) + \arcsin(0)$$
Or $$\arcsin(0) = 0$$. Ainsi :
$${\color{red}{\boxed{\arcsin(x) = x+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{3}{40}x^5+o(x^5)}}}$$

On a :
$$(\arccos)'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Or on a :
$$-\dfrac{1}{\sqrt{1+X}} = -1+\dfrac{1}{2}X-\dfrac{3}{8}X^2+o(X^2)$$
Comme $$\lim_{x \longrightarrow 0} (-x^2) = 0$$ alors on a le droit de poser $$X = -x^2$$. On a alors, en se limitant à l'ordre $$4$$ :
$$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -1+\dfrac{1}{2}(-x^2)-\dfrac{3}{8}(-x^2)^2+o(x^4)$$
Soit encore :
$$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -1-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{8}x^4+o(x^4)$$
Puis, par intégration, on trouve que :
$$\arccos(x) = -x-\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{3}{8 \times 5}x^5+o(x^5) + \arccos(0)$$
Or $$\arcsin(0) = \dfrac{\pi}{2}$$. Ainsi :
$${\color{red}{\boxed{\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{3}{40}x^5 + o(x^5)}}}$$

On sait que pour tout $$x$$ réel, on a :
$$\mathrm{argtanh}(x) = \dfrac{1}{2} \ln\left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)$$
Soit encore :
$$f(x) = \mathrm{argtanh}(x) = \dfrac{1}{2} \ln(1+x) - \dfrac{1}{2} \ln(1-x)$$
Or, on a :
$$\bullet \,\, \ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$$
$$\bullet \bullet \,\, \ln(1-x) = \ln(1+(-x)) = (-x) - \dfrac{(-x)^2}{2} + \dfrac{(-x)^3}{3} + o((-x)^3) = -x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$$
Donc :
$$\bullet \,\, \dfrac{1}{2} \ln(1+x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$$
$$\bullet \bullet \,\, \dfrac{1}{2}\ln(1-x) = - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$$
Par soustraction, on trouve que :
$$f(x) = \mathrm{argtanh}(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$$
Par simplification, on trouve que :
$$f(x) = \mathrm{argtanh}(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\mathrm{argtanh}(x) = x - \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)}}}$$

On sait que :
$$\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$$
Avec :
$$\bullet \,\, \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} + o(x^5)$$
$$\bullet \,\, \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^5)$$
Donc, on va effectuer la division euclidienne du développement limité de $$\sin(x)$$ par le développement limité de $$\cos(x)$$, selon les puissance croissante de $$x$$. On a alors en limitant au termes de puissance $$5$$ :

On en déduit donc que :
$${\color{red}{\boxed{\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + o(x^5)}}}$$