Insupportable ! - Exercice 1

La fonction considérée est :
$$f(x) = \sin\left( \sinh(x) - x \right) - \sinh(x) = \sin\left( \sinh(x) - x \right) - \sinh(x) - x + x$$
Soit :
$$f(x) = \sin\left( \sinh(x) - x \right) - \left(\sinh(x) - x \right) - x$$
Si on pose $$u = \sinh(x) - x$$ on constate que $$u \underset{x \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0$$, mais également que :
$$f(x) = \sin\left( u \right) - u - x$$
Or :
$$\sin(u) = u - \dfrac{1}{6}u^3 + o(u^4)$$
Donc :
$$\sin(u) - u = - \dfrac{1}{6}u^3 + o(u^4)$$
De plus, on a :
$$\sinh(x) = x + \dfrac{1}{6}x^3 + o(u^4)$$
Donc :
$$\sinh(x) - x = \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^4)$$
On en déduit donc que :
$$f(x) = - \dfrac{1}{6}\left( \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^4) \right)^3 + o(x^{12}) - x$$
D'où :
$$f(x) = - \dfrac{x^9}{6^4} - x + o(x^{10})$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = - \left( x + \dfrac{x^9}{1296} \right) + o(x^{10}) }}}$$
Graphiquement, on observe que :

On constate bien l'accord au voisinage de $$0$$.