Exemple Physique : En électrostatique - Exercice 1

On a
$$f(x) = (1+x)^p \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f'(x) = p(1+x)^{p-1} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f''(x) = p(p-1)(1+x)^{p-2}$$
Donc, en $$x_0$$, ces relations deviennent :
$$f(x_0) = (1+x_0)^p \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f'(x_0) = p(1+x_0)^{p-1} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f''(x_0) = p(p-1)(1+x_0)^{p-2}$$
Puis, en posant $$x_0$$, ces relations nous donnent :
$$f(0) = 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f'(0) = p \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f''(0) = p(p-1)$$
On obtient donc le le polynôme de \textit{Taylor}, à l'ordre deux, au voisinage de $$x_0 = 0$$, suivant :
$$P_2(x) = 1 + px + \dfrac{1}{2}p(p+1)x^2$$
Enfin, en posant l'approximation $$f(x) \simeq P_2(x)$$, on obtient le résultat important suivant, valable si $$x$$ est bien inférieur à $$1$$ ou dit autrement, si $$x \longrightarrow 0$$ :
$${\color{blue}{(1+x)^p \underset{0}{\simeq} 1 + px + \dfrac{1}{2}p(p-1)x^2}}$$

On a :
$$\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} = \dfrac{1}{r} \dfrac{1}{\sqrt{1-2 \dfrac{a}{r}\cos(\theta)+ \left(\dfrac{a}{r} \right)^2}}$$
Soit encore :
$$\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} = \dfrac{1}{r} \dfrac{1}{ \left( 1 - 2 \dfrac{a}{r} \cos(\theta)+ \left( \dfrac{a}{r} \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}}}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} = \dfrac{1}{r} \left(1 + \left( {\color{blue}{- 2 \dfrac{a}{r} \cos(\theta)+ \left( \dfrac{a}{r} \right)^2 }} \right) \right)^{-\frac{1}{2}}$$
Ainsi, en posant $$x = {\color{blue}{- 2 \dfrac{a}{r} \cos(\theta)+ \left( \dfrac{a}{r} \right)^2 }}$$, on constate que sous l'hypothèse de comparaison $$a \ll r$$, à savoir $$\dfrac{a}{r} \ll 1$$, on peut donc utiliser le résultat de la question précédente, avec $$p = -\dfrac{1}{2}$$. On a alors :
$$\begin{array}{l} \dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} = \\ \dfrac{1}{r} \left( 1 - \dfrac{1}{2} \left({\color{blue}{- 2 \dfrac{a}{r} \cos(\theta)+ \left( \dfrac{a}{r} \right)^2 }} \right) + \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{1}{2} \right) \left( - \dfrac{1}{2} - 1 \right) \left({\color{blue}{- 2 \dfrac{a}{r} \cos(\theta)+ \left( \dfrac{a}{r} \right)^2 }} \right)^2 \right) \\ \end{array}$$
Soit :
$$\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} = \dfrac{1}{r} \left( 1 + \dfrac{a}{r} \cos(\theta) - \dfrac{a^2}{2r^2} + \dfrac{3}{8} \left( 4 \dfrac{a^2}{r^2} \cos^2(\theta) - 4 \dfrac{a^3}{r^3} \cos(\theta) + \dfrac{a^4}{r^4} \right) \right)$$
Soit encore :
$$\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} = \dfrac{1}{r} \left( 1 + \dfrac{a}{r} \cos(\theta) - \dfrac{a^2}{2r^2} + \dfrac{3}{2} \dfrac{a^2}{r^2} \cos^2(\theta) - \dfrac{3}{2} \dfrac{a^3}{r^3} \cos(\theta) + \dfrac{3}{8}\dfrac{a^4}{r^4} \right)$$
En ne conservant que les termes présent jusqu'à l'ordre deux en $$\dfrac{a}{r}$$ dans le développement, on obtient :
$$\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} \underset{a \ll r}{\simeq} \dfrac{1}{r} \left( 1 + \dfrac{a}{r} \cos(\theta) - \dfrac{a^2}{2r^2} + \dfrac{3}{2} \dfrac{a^2}{r^2} \cos^2(\theta) \right)$$
En factorisant, on trouve que :
$$\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} \underset{a \ll r}{\simeq} \dfrac{1}{r} \left( 1 + \dfrac{a}{r} \cos(\theta) + \dfrac{a^2}{2r^2} \left( 3\cos^2(\theta) - 1 \right) \right)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2ar\cos(\theta)+a^2}} \underset{a \ll r}{\simeq} \dfrac{1}{r} + \dfrac{a}{r^2} \cos(\theta) + \dfrac{a^2}{2r^3} \left( 3\cos^2(\theta) - 1 \right) }}}$$
On parle de $$\textit{développement multipolaire axial}$$.