Développements limités

Encore plus insupportable ! - Exercice 1

50 min
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Toujours un exercice qui demande de la patience et de la technicité.
Question 1
Soit x>0x>0. On pose f(x)=(tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x))e1xf(x) = \left( \tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)}\right)^{e^{\frac{1}{x}}}.

Déterminer ℓ=lim⁡x⟶0f(x)\ell = \lim_{x \longrightarrow 0} f(x).

Correction
On a :
tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x)=e1x−e−1xe1x+e−1x−1e1x+e−1x2=e1x−e−1xe1x+e−1x−2e1x+e−1x=e1x−e−1x−2e1x+e−1x\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{e^{\frac{1}{x}} - e^{-\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}}} - \dfrac{1}{\dfrac{e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}}}{2}} = \dfrac{e^{\frac{1}{x}} - e^{-\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}}} - \dfrac{2}{e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}}} = \dfrac{e^{\frac{1}{x}} - e^{-\frac{1}{x}} - 2}{e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}}}
En factorisant par e1xe^{\frac{1}{x}} on obtient :
tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x)=1−e−2x−2e−1x1+e−2x=(1−2e−1x−e−2x)×(1+e−2x)−1\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{1 - e^{-\frac{2}{x}} - 2e^{-\frac{1}{x}}}{1 + e^{-\frac{2}{x}}} = \left( 1 - 2e^{-\frac{1}{x}} - e^{-\frac{2}{x}}\right) \times \left( 1 + e^{-\frac{2}{x}} \right)^{-1}
Soit encore :
tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x)=(1−2e−1x−(e−1x)2)×(1+(e−1x)2)−1\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \left( 1 - 2e^{-\frac{1}{x}} - \left(e^{-\frac{1}{x}}\right)^2\right) \times \left( 1 + \left(e^{-\frac{1}{x}}\right)^2 \right)^{-1}
Ce qui nous donne donc, au premier ordre selon le terme e−1xe^{-\frac{1}{x}} :
tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x)=(1−2e−1x+o(e−1x))×(1+o(e−1x))\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} = \left( 1 - 2e^{-\frac{1}{x}} + o\left(e^{-\frac{1}{x}}\right)\right) \times \left( 1 + o\left(e^{-\frac{1}{x}}\right) \right)
A savoir :
tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x)=1−2e−1x+o(e−1x)\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} = 1 - 2e^{-\frac{1}{x}} + o\left(e^{-\frac{1}{x}}\right)
Puis, on a :
f(x)=(tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x))e1x=ee1xln⁡(tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x))f(x) = \left( \tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)}\right)^{e^{\frac{1}{x}}} = e^{e^{\frac{1}{x}}\ln\left( \tanh\left( \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{\cosh\left( \frac{1}{x} \right)} \right)}
Donc :
ln⁡(tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x))=ln⁡(1−2e−1x+o(e−1x))=−2e−1x+o(e−1x)\ln\left(\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} \right) = \ln\left(1 - 2e^{-\frac{1}{x}} + o\left(e^{-\frac{1}{x}}\right) \right) = - 2e^{-\frac{1}{x}} + o\left(e^{-\frac{1}{x}}\right)
Ce qui nous permet d'en déduire que :
e1xln⁡(tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x))=−2e1xe−1x+e1xo(e−1x)e^{\frac{1}{x}}\ln\left(\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} \right) = - 2e^{\frac{1}{x}}e^{-\frac{1}{x}} + e^{\frac{1}{x}}o\left(e^{-\frac{1}{x}}\right)
D'où :
e1xln⁡(tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x))=−2+o(1)e^{\frac{1}{x}}\ln\left(\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} \right) = - 2 + o\left(1\right)
Ainsi :
e1xln⁡(tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x))∼0−2e^{\frac{1}{x}}\ln\left(\tanh\left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{1}{x} \right)} \right) \underset{0}{\sim} -2
Ce qui nous permet d'écrire que :
ee1xln⁡(tanh⁡(1x)−1cosh⁡(1x))∼0e−2e^{e^{\frac{1}{x}}\ln\left(\tanh\left( \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{\cosh\left( \frac{1}{x} \right)} \right)} \underset{0}{\sim} e^{-2}
Soit encore :
f(x)∼01e2f(x) \underset{0}{\sim} \dfrac{1}{e^2}
Finalement :
ℓ=lim⁡x⟶0f(x)=1e2≃0,135{\color{red}{\boxed{ \ell = \lim_{x \longrightarrow 0} f(x) = \dfrac{1}{e^2} \simeq 0,135 }}}
REMARQUE :
Un outil numérique performant n'arrive pas à calculer correctement les valeur de f(x){\color{blue}{f(x)}} dès que x<0,03x<0,03 (d'où l'intérêt du calcul littéral pour évaluer la limite ℓ{\color{red}{\ell}}) :

Ou encore, sous un autre logiciel (avec le même code de couleurs) :