Ce qu'il faut savoir sur les développements limités

$${\color{red}{\looparrowright \,\, \textbf{Définition}}}$$
Soit $$f$$ une fonction réelle univariée définie au voisinage de $$0$$. On dit que $$f$$ admet un $${\color{red}{\textbf{développement limité (D.L.)}}}$$ d'ordre $$n \in \mathbb{N}$$ au voisinage de $$0$$ s'il existe des réel $$a_0$$, $$\cdots$$, $$a_n$$ tels que :
$$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + x^n \varepsilon(x)$$
Dans cette définition, on doit avoir impérativement $$\lim_{x \longmapsto 0} \varepsilon(x) = 0$$.
Le terme $$P_n(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$$ s'appelle la $${\color{red}{\textbf{partie régulière du D.L.}}}$$
Le terme $$x^n \varepsilon(x)$$ s'appelle le $${\color{red}{\textbf{reste du D.L.}}}$$. Par simplicité d'écriture on utilise la notation de $$Landau$$ suivante :
$$x^n \varepsilon(x) = o(x^n)$$
Dans cette notation on a donc $$\varepsilon(x) = o(1)$$.
$${\color{red}{\looparrowright \,\, \textbf{propriétés}}}$$
On a également les propriétés suivantes :
$$\bullet \,\,$$ si une fonction admet, au voisinage de $$0$$, un D.L. alors il est unique.
$$\bullet \bullet \,\,$$ si une fonction paire admet, au voisinage de $$0$$, un D.L. alors tous les coefficients dont l'indice est impair $$a_1$$, $$a_3 \, \cdots$$ sont nuls.
$$\bullet \bullet \bullet \,\,$$ si une fonction impaire admet, au voisinage de $$0$$, un D.L. alors tous les coefficients dont l'indice est pair $$a_0$$, $$a_2 \, \cdots$$ sont nuls.
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\,$$ si $$f$$ est une fonction qui admet, au voisinage de $$0$$, un D.L. d'ordre $$n$$ dont la partie régulière est $$a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$$, et si $$p \leqslant n$$, alors $$f$$ admet, au voisinage de $$0$$, un D.L. d'ordre $$p$$ dont la partie régulière est $$a_0 + a_1 x + \cdots + a_p x^p$$. C'est la propriété de troncature.
$${\color{red}{\looparrowright \,\, \textbf{Formule de Taylor-Young}}}$$
Si $$f$$ est une fonction qui est $$n \in \mathbb{N}$$ fois dérivables en $$0$$ alors $$f$$ admet, au voisinage de $$0$$, un D.L. d'ordre $$n$$ qui s'écrit :
$$f(x) = f(0) + f'(0) x + \dfrac{1}{2} f''(0) x^2 + \dfrac{1}{6} f'''(0) x^3 + \cdots + \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(0) x^n + x^n \varepsilon(x)$$
C'est la célèbre formule de $${\color{red}{\textbf{Taylor-Young}}}$$.
$${\color{red}{\looparrowright \,\, \textbf{Exemples}}}$$
A partir de cette dernière, on obtient sans difficulté les expressions usuelles suivantes :
$$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + x^n \varepsilon(x)$$
$$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} + x^n \varepsilon(x)$$
$$\ln(1-x) = -x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} - \cdots - \dfrac{x^n}{n} + x^n \varepsilon(x)$$
$$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots + (-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + x^{2n+1} \varepsilon(x)$$
$$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots + (-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + x^{2n} \varepsilon(x)$$
$$\sinh(x) = x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} + \cdots + \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + x^{2n+1} \varepsilon(x)$$
$$\cosh(x) = 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots + \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + x^{2n} \varepsilon(x)$$
$$\arctan(x) = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} + x^{2n+1} \varepsilon(x)$$
$$\mathrm{argtanh}(x) = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} + \cdots + \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} + x^{2n+1} \varepsilon(x)$$
Puis, on a également :
$$(1+x)^a = 1 + ax + \dfrac{a(a-1)}{2}x^2 + \dfrac{a(a-1)(a-2)}{6}x^3 + \cdots + \dfrac{a(a-1)(a-2) \cdots (a-n+1)}{n!}x^n + x^n \varepsilon(x)$$
Dans cette dernière formule, si $$a \in \mathbb{N}$$, alors les coefficient de $$x^p$$, avec $$p>a$$, sont tous nuls. On tire de cette relation les expressions suivantes :
$$\dfrac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^{n}x^{n} + x^{n} \varepsilon(x)$$
$$\dfrac{1}{1-x} = (1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n} + x^{n} \varepsilon(x)$$
$$\dfrac{1}{(1-x)^2} = (1+x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + (n+1)x^{n} + x^{n} \varepsilon(x)$$
Il faut également retenir les expressions tronquées suivantes (très utiles sous cette forme en exercices de Mathématiques comme de Physique) :
$$\sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \dfrac{5x^4}{128} + x^4\varepsilon(x)$$
$$\dfrac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-\frac{1}{2}} = 1 - \dfrac{x}{2} +\dfrac{3x^2}{8} - \dfrac{5x^3}{16} + \dfrac{35x^4}{128} + x^4\varepsilon(x)$$
$$\tan(x) = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \dfrac{17x^7}{315} + x^{8} \varepsilon(x)$$
$$\tanh(x) = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} - \dfrac{17x^7}{315} + x^{8} \varepsilon(x)$$
$$\arcsin(x) = x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{3x^5}{40} + x^{6} \varepsilon(x)$$
$$\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{x^3}{6} - \dfrac{3x^5}{40} + x^{6} \varepsilon(x)$$
$$\mathrm{argsinh}(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{15x^5}{40} + x^{7} \varepsilon(x)$$
$${\color{red}{\looparrowright \,\, \textbf{Opérations sur les D.L. au voisinage de zéro}}}$$
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \,\, \textbf{Combinaison linéaire}}}$$
Si $$f$$ et $$g$$ admettent, au voisinage de $$0$$, des D.L. d'ordre $$n \in \mathbb{N}$$ respectivement de parties régulières $$P_n(x)$$ et $$Q_n(x)$$, alors la combinaison linéaire $$\alpha f + \beta g$$ (où $$\alpha$$ et $$\beta$$ sont deux réels) admet également un D.L. d'ordre $$n$$, au voisinage de $$0$$, dont la partie régulière est donnée par $$\alpha P_n(x) + \beta Q_n(x)$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Produit}}}$$
Si $$f$$ et $$g$$ admettent, au voisinage de $$0$$, des D.L. d'ordre $$n \in \mathbb{N}$$ respectivement de parties régulières $$P_n(x)$$ et $$Q_n(x)$$, alors le produit $$fg$$ admet également un D.L. d'ordre $$n$$, au voisinage de $$0$$, dont la partie régulière est donnée par tous les termes de degré inférieur ou égal à $$n$$ du produit $$P_n(x) Q_n(x)$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Quotient}}}$$
Si $$f$$ et $$g$$ admettent, au voisinage de $$0$$, des D.L. d'ordre $$n \in \mathbb{N}$$ respectivement de parties régulières $$P_n(x)$$ et $$Q_n(x)$$, et si $$g(0) \neq 0$$ alors le quotient $$\dfrac{f}{g}$$ admet également un D.L. d'ordre $$n$$, au voisinage de $$0$$, dont la partie régulière est donnée par la division $$\dfrac{P_n(x)}{Q_n(x)}$$ suivant $${\color{red}{\textbf{les puissances croissantes}}}$$ de $$x$$ jusqu'aux termes en $$x^n$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Composition}}}$$
Si $$t \longmapsto f(t)$$ et $$x \longmapsto g(x)$$ admettent, au voisinage de $$0$$, des D.L. d'ordre $$n \in \mathbb{N}$$ respectivement de parties régulières $$P_n(t)$$ et $$Q_n(x)$$, et si $$g(0) = 0$$ alors la fonction composée $$x \longmapsto \left(f \circ g \right)(x)$$ admet un D.L. d'ordre $$n$$ au voisinage de $$0$$. La partie régulière s'obtient en remplacant $$t$$ dans $$P_n(t)$$ par $$Q_n(x)$$ et en ne conservant que les termes (monômes) de degré inférieur ou égal à $$n$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Intégration}}}$$
Si $$f$$ est dérivable sur un intervalle ouvert contenant $$0$$, et si la dérivée $$f'$$ admet au voisinage de $$0$$ un D.L. d'ordre $$n-1$$
$$f'(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} + x^{n-1} \varepsilon(x)$$
alors $$f$$ admet un D.L. au voisinage de $$0$$ d'ordre $$n$$ obtenu par une intégration, terme à terme. On a alors l'expression suivante :
$$f(x) = f(0) + a_0 x + \dfrac{a_1}{2} x^2 + \cdots + \dfrac{a_{n-1}}{n} x^{n} + x^{n} \varepsilon(x)$$
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Dérivation}}}$$
Si $$f$$ est infiniment dérivable au voisinage de $$0$$, on peut appliquer la formule de $$Taylor-Young$$ à $$f$$ et $$f'$$. Les D.L. de $$f'$$ s'obtiennent en dérivant les D.L. de $$f$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{D.L. autre qu'en zéro}}}$$
Si $$f$$ est une fonction qui est $$n \in \mathbb{N}$$ fois dérivables en $$x_0$$ alors $$f$$ admet, au voisinage de $$x_0$$, un D.L. d'ordre $$n$$ qui s'écrit :
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + \dfrac{1}{2} f''(x_0) (x-x_0)^2 + \dfrac{1}{6} f'''(x_0) x^3 + \cdots + \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n + x^n \varepsilon(x-x_0)$$
Avec la condition $$\lim_{x \longrightarrow x_0} \varepsilon(x-x_0) = 0$$.
$${\color{red}{\looparrowright \,\, \textbf{Applications des D.L.}}}$$
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \,\, \textbf{Les limites}}}$$
Si on cherche la limite de $$f$$ en $$0$$ il suffit d'effectuer un D.L. de $$f$$ à un ordre deux ou trois, puis d'appliquer la condition $$x \longrightarrow 0$$. Par exemple :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x + x^2\varepsilon(x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( 1 + x\varepsilon(x) \right) = 1$$
Si on cherche la limite de $$f$$ en $$x_0 \neq 0$$, on pose $$h = x - x_0$$. Ainsi on ramène la situation à celle en $$0$$. Il suffit alors d'effectuer un D.L. de $$f$$ à un ordre deux ou trois, en $$h$$. Ensuite, on remplace formellement $$h$$ par $$x - x_0$$. puis d'appliquer la condition $$x \longrightarrow 0$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Equation d'une tangente et position relative}}}$$
Pour une fonction $$f$$ indéfiniment dérivable au voisinage de $$x_0$$, la tangente $$T$$ à la courbe, au point d'abscisse $$x_0$$, est donnée par le D.L. de $$f$$, en $$x_0$$, à l'ordre 1 :
$$T : y = a_0 + a_1 (x-x_0)$$
Puis, dans le D.L. le premier terme non nul d'ordre strictement supérieur à $$1$$ donne localement (au voisinage proche de $$x_0$$) la position relative de la courbe par rapport à la tangente $$T$$. En particulier, dans ce D.L., si le degré de ce premier terme non nul est impair, il y a un point d'inflexion en $$x_0$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Développement limité au voisinage de l'infini}}}$$
Soit $$A\in \mathbb{R}$$. Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$]A\,;\,+\infty[$$ ou $$]-\infty\,;\,A[$$. Quand $$x$$ tend vers l'infini, $$X = \dfrac{1}{x}$$ tend vers zéro. Et de fait, en remplaçant $$x$$ par $$\dfrac{1}{X}$$ on ramène l'étude au voisinage de $$0$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Calcul asymptotique}}}$$
Lorsque $$x$$ et $$f(x)$$ tendent vers l'infini, on obtient une éventuelle asymptote oblique en effectuant le D.L. au voisinage de l'infini :
$$\dfrac{f(x)}{x} = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^p} + \dfrac{1}{x^p}\varepsilon\left( \dfrac{1}{x} \right) \,\,\,\,\,\, (a\,;\,b\,;\,c)\in \mathbb{R}^3$$
La quantité $$\dfrac{c}{x^p}$$ est le premier terme non nul après $$\dfrac{b}{x}$$.
Dans ce cas, la courbe d'équation $$y = f(x)$$ admet une asymptote oblique $$A$$ d'équation $$A : y=ax+b$$.
La position relative de l'asymptote $$A$$ par rapport à la courbe de $$f$$ est donnée par le signe de $$f(x) - (ax+b)$$ et qui est également celui de la quantité $$\dfrac{c}{x^p}$$ lorsque $$x$$ tend vers l'infini.
$${\color{blue}{\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{En Physique}}}$$
En Physique, $${\color{red}{\textbf{seule la partie régulière du D.L. est utilisée}}}$$, le reste n'est pas écrit par le physicien. Le D.L. d'une formule physique $$F$$ u voisinage d'une valeur $$q$$ permet de donner une version plus simple et pratique de $$F$$, mais uniquement valable au voisinage de $$q$$. Ceci se fait par la supposition d'une condition de comparaison. C'est à l'aide de cette condition de comparaison que l'on peut effectuer techniquement le D.L. de $$F$$. En fait, l'hypothèse de comparaison est, pour le physicien, la même chose que $$x \longrightarrow 0$$ pour le mathématicien.
Par exemple, en Relativité Restreinte, l'énergie cinétique $$E_c$$, d'un corps de masse $$m$$ (non nulle) et de vitesse $$v$$, est donnée par la formule :
$$E_c = ( \gamma - 1) mc^2$$
Où $$c$$ représente la vitesse de la lumière dans le vide (encore appelée la célérité), et $$\gamma$$ est un facteur réel positif, qui s'exprime comme :
$$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$$
Sous l'hypothèse de comparaison $$v \ll c$$ (ce qui signifie que $$v$$ est au moins cent fois plus faible que $$c$$), la formule donnant l'énergie cinétique redonne bien l'expression de celle de la Mécanique Newtonienne. En effet, on a :
$$E_c = ( \gamma - 1) mc^2 = \left( \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) mc^2 = \left( \dfrac{1}{\left( 1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{1}{2}}} - 1 \right) mc^2$$
Soit :
$$E_c = \left( \left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}} - 1 \right) mc^2 = \left( \left( 1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 \right)^{-\frac{1}{2}} - 1 \right) mc^2$$
Ainsi, sous l'hypothèse de comparaison $$v \ll c$$ équivalente à $$\dfrac{v}{c} \ll 1$$ (soit pour le mathématicien $$\dfrac{v}{c} \longrightarrow 0$$), on a alors, au premier ordre en $$\dfrac{v}{c}$$ (au lieu de faire un D.L. selon la variable $$x$$, on le fait selon la variable $$\dfrac{v}{c}$$) :
$$E_c \underset{v \ll c}{\simeq} \left( 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 - 1 \right) mc^2 =\left( 1 + \frac{1}{2}\left(\dfrac{v}{c}\right)^2 - 1 \right) mc^2 = \frac{1}{2} \dfrac{v^2}{c^2} mc^2$$
En simplifiant, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{E_c \underset{v \ll c}{\simeq} \frac{1}{2} mv^2}}}$$
Ainsi, sous l'hypothèse de comparaison $$v \ll c$$, la formule donnant l'énergie cinétique relativiste redonne bien l'expression de celle de la Mécanique Newtonienne.