Asymptote - Exercice 1

Lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$ alors $$\dfrac{1}{x} = X \longrightarrow 0^+$$. On a alors :
$$f(x) = \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \, \sqrt{x^4 + x^3 + 1} = \cos(X) \, \sqrt{\dfrac{1}{X^4} + \dfrac{1}{X^3} + 1} = \cos(X) \, \sqrt{\dfrac{1+X+X^4}{X^4}}$$
Comme $$X>0$$, on a alors :
$$f(x) = \cos(X) \, \dfrac{\sqrt{1+X+X^4}}{X^2} = g(X)$$
Ainsi :
$$\dfrac{f(x)}{x} = X g(X) = \cos(X) \, \dfrac{\sqrt{1+X+X^4}}{X} = \cos(X) \, \dfrac{\left(1+X+X^4\right)^{\frac{1}{{2}}}}{X}$$
Comme $$X \longrightarrow 0^+$$, et que $$X+X^4 \longrightarrow 0^+$$ également, on a alors :
$$X g(X) = \left( 1 - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{24}X^4 +o(X^4)\right) \, \dfrac{1+\dfrac{1}{2}\left(X+X^4\right)-\dfrac{1}{8}\left(X+X^4\right)^2+\dfrac{1}{16}\left(X+X^4\right)^3 - \dfrac{5}{128}\left(X+X^4\right)^4 + o(X^4)}{X}$$
Ce qui nous donne, à l'ordre $$4$$ :
$$X g(X) = \left( 1 - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{24}X^4 + o(X^4)\right) \, \dfrac{1+\dfrac{1}{2}\left(X+X^4\right)-\dfrac{1}{8}\left(X^2\right)+\dfrac{1}{16}\left(X^3\right) - \dfrac{5}{128}\left(X^4\right) + o(X^4)}{X}$$
Donc :
$$X g(X) = \left( 1 - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{24}X^4 + o(X^4)\right) \, \dfrac{1+\dfrac{1}{2}X-\dfrac{1}{8}X^2+\dfrac{1}{16}X^3 + \dfrac{1}{2}X^4- \dfrac{5}{128}X^4 + o(X^4)}{X}$$
Soit :
$$X g(X) = \dfrac{1}{X}\left( 1 - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{24}X^4 + o(X^4)\right) \, \left(1+\dfrac{1}{2}X-\dfrac{1}{8}X^2+\dfrac{1}{16}X^3 + \dfrac{59}{128}X^4 + o(X^4)\right)$$
En développant :
$$X g(X) = \dfrac{1}{X}\left( 1 + \dfrac{1}{2}X - \dfrac{5}{8}X^2 - \dfrac{3}{16}X^3 + \dfrac{217}{384}X^4 + o(X^4)\right)$$
Soit encore :
$$X g(X) = \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{8}X - \dfrac{3}{16}X^2 + \dfrac{217}{384}X^3 + o(X^3)$$
Ainsi, on en déduit que :
$$\dfrac{f(x)}{x} = x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{8}\dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{16}\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{217}{384}\dfrac{1}{x^3} + o\left(\dfrac{1}{x^3}\right)$$
On obtient alors :
$$f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{16}\dfrac{1}{x} + \dfrac{217}{384}\dfrac{1}{x^2} + o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{16x} + \dfrac{217}{384x^2} + o\left(\dfrac{1}{x^2}\right) }}}$$

Le passage de $$f$$ lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$ nous donne l'équation de la parabole $$P$$ asymptotique à $$f$$.
D'après la question précédente, on en déduit que l'équation de $$P$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ P(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} }}}$$
On peut vérifier ceci sans peine par les représentations graphiques associées à $${\color{red}{ P(x)}}$$ et $${\color{blue}{ f(x)}}$$. On a alors :

On a :
$$f(x) - \left( x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} \right) = - \dfrac{3}{16x} + \dfrac{217}{384x^2} + o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$$
Ce qui revient à dire que lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$ on a :
$$f(x) - \left( x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} \right) < 0$$
Soit encore (lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$) :
$$f(x) < x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8}$$
Ainsi l'asymptote $${\color{red}{P}}$$ est $$\bf{au \,\,dessus}$$ de $${\color{blue}{f}}$$.
Graphiquement, cela se vérifie très aisément. On a :