Développements limités

Asymptote - Exercice 1

45 min
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Un exemple de calcul asymptotique.
Question 1
On pose, pour x0x \neq 0, f(x)=cos(1x)x4+x3+1f(x) = \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \, \sqrt{x^4 + x^3 + 1}.

Déterminer un développement limité de l'expression f(x)f(x) en ++\infty.

Correction
Lorsque x+x \longrightarrow +\infty alors 1x=X0+\dfrac{1}{x} = X \longrightarrow 0^+. On a alors :
f(x)=cos(1x)x4+x3+1=cos(X)1X4+1X3+1=cos(X)1+X+X4X4f(x) = \cos\left( \dfrac{1}{x} \right) \, \sqrt{x^4 + x^3 + 1} = \cos(X) \, \sqrt{\dfrac{1}{X^4} + \dfrac{1}{X^3} + 1} = \cos(X) \, \sqrt{\dfrac{1+X+X^4}{X^4}}
Comme X>0X>0, on a alors :
f(x)=cos(X)1+X+X4X2=g(X)f(x) = \cos(X) \, \dfrac{\sqrt{1+X+X^4}}{X^2} = g(X)
Ainsi :
f(x)x=Xg(X)=cos(X)1+X+X4X=cos(X)(1+X+X4)12X\dfrac{f(x)}{x} = X g(X) = \cos(X) \, \dfrac{\sqrt{1+X+X^4}}{X} = \cos(X) \, \dfrac{\left(1+X+X^4\right)^{\frac{1}{{2}}}}{X}
Comme X0+X \longrightarrow 0^+, et que X+X40+X+X^4 \longrightarrow 0^+ également, on a alors :
Xg(X)=(112X2+124X4+o(X4))1+12(X+X4)18(X+X4)2+116(X+X4)35128(X+X4)4+o(X4)XX g(X) = \left( 1 - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{24}X^4 +o(X^4)\right) \, \dfrac{1+\dfrac{1}{2}\left(X+X^4\right)-\dfrac{1}{8}\left(X+X^4\right)^2+\dfrac{1}{16}\left(X+X^4\right)^3 - \dfrac{5}{128}\left(X+X^4\right)^4 + o(X^4)}{X}
Ce qui nous donne, à l'ordre 44 :
Xg(X)=(112X2+124X4+o(X4))1+12(X+X4)18(X2)+116(X3)5128(X4)+o(X4)XX g(X) = \left( 1 - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{24}X^4 + o(X^4)\right) \, \dfrac{1+\dfrac{1}{2}\left(X+X^4\right)-\dfrac{1}{8}\left(X^2\right)+\dfrac{1}{16}\left(X^3\right) - \dfrac{5}{128}\left(X^4\right) + o(X^4)}{X}
Donc :
Xg(X)=(112X2+124X4+o(X4))1+12X18X2+116X3+12X45128X4+o(X4)XX g(X) = \left( 1 - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{24}X^4 + o(X^4)\right) \, \dfrac{1+\dfrac{1}{2}X-\dfrac{1}{8}X^2+\dfrac{1}{16}X^3 + \dfrac{1}{2}X^4- \dfrac{5}{128}X^4 + o(X^4)}{X}
Soit :
Xg(X)=1X(112X2+124X4+o(X4))(1+12X18X2+116X3+59128X4+o(X4))X g(X) = \dfrac{1}{X}\left( 1 - \dfrac{1}{2}X^2 + \dfrac{1}{24}X^4 + o(X^4)\right) \, \left(1+\dfrac{1}{2}X-\dfrac{1}{8}X^2+\dfrac{1}{16}X^3 + \dfrac{59}{128}X^4 + o(X^4)\right)
En développant :
Xg(X)=1X(1+12X58X2316X3+217384X4+o(X4))X g(X) = \dfrac{1}{X}\left( 1 + \dfrac{1}{2}X - \dfrac{5}{8}X^2 - \dfrac{3}{16}X^3 + \dfrac{217}{384}X^4 + o(X^4)\right)
Soit encore :
Xg(X)=1X+1258X316X2+217384X3+o(X3)X g(X) = \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{8}X - \dfrac{3}{16}X^2 + \dfrac{217}{384}X^3 + o(X^3)
Ainsi, on en déduit que :
f(x)x=x+12581x3161x2+2173841x3+o(1x3)\dfrac{f(x)}{x} = x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{8}\dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{16}\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{217}{384}\dfrac{1}{x^3} + o\left(\dfrac{1}{x^3}\right)
On obtient alors :
f(x)=x2+12x583161x+2173841x2+o(1x2)f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{16}\dfrac{1}{x} + \dfrac{217}{384}\dfrac{1}{x^2} + o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)
Finalement :
f(x)=x2+12x58316x+217384x2+o(1x2){\color{red}{\boxed{ f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{16x} + \dfrac{217}{384x^2} + o\left(\dfrac{1}{x^2}\right) }}}
Question 2

Déterminer l'équation de la parabole, notée PP, asymptotique à ff en ++\infty.

Correction
Le passage de ff lorsque x+x \longrightarrow +\infty nous donne l'équation de la parabole PP asymptotique à ff.
D'après la question précédente, on en déduit que l'équation de PP est :
P(x)=x2+12x58{\color{red}{\boxed{ P(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} }}}
On peut vérifier ceci sans peine par les représentations graphiques associées à P(x){\color{red}{ P(x)}} et f(x){\color{blue}{ f(x)}}. On a alors :
Question 3

Déterminer, en ++ \infty, la position relative de PP par rapport à ff.

Correction
On a :
f(x)(x2+12x58)=316x+217384x2+o(1x2)f(x) - \left( x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} \right) = - \dfrac{3}{16x} + \dfrac{217}{384x^2} + o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)
Ce qui revient à dire que lorsque x+x \longrightarrow +\infty on a :
f(x)(x2+12x58)<0f(x) - \left( x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8} \right) < 0
Soit encore (lorsque x+x \longrightarrow +\infty) :
f(x)<x2+12x58f(x) < x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{8}
Ainsi l'asymptote P{\color{red}{P}} est audessus\bf{au \,\,dessus} de f{\color{blue}{f}}.
Graphiquement, cela se vérifie très aisément. On a :