Exercices types : BILAN avant le DS - Exercice 1

La fonction $$f$$ est une fonction homographique.
Le dénominateur ici est $$x-2$$.
$$f$$ est définie pour tout réel $$x$$ tel $$x-2\ne0$$ d'où :
L'ensemble de définition de la fonction $$f$$ est $$D=\left]-\infty ;2\right[\cup \left]2;+\infty \right[$$ que l’on note aussi $$\mathbb{R}-\left\{2\right\}$$.

Il nous faut calculer $$f\left(3\right)$$ . Il vient alors que :
$$f\left(3\right)=\frac{2\times 3-5}{3-2}$$
$$f\left(3\right)=\frac{6-5}{3-2}$$
$$f\left(3\right)=\frac{1}{1}$$
Ainsi :
L'image de $$3$$ par la fonction $$f$$ vaut $$1$$ .

Il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=4$$
Pour tout réel $$x\ne2$$, on a :
$$f\left(x\right)=4$$ équivaut successivement à :
$$\frac{2x-5}{x-2} =4$$
$$\frac{2x-5}{x-2} =\frac{4}{1}$$
$$\left(2x-5\right)\times 1=\left(x-2\right)\times 4$$
$$2x\times 1-5\times 1=x\times 4-2\times 4$$
$$2x-5=4x-8$$
$$2x-4x=-8+5$$
$$-2x=-3$$
$$x=\frac{-3}{-2}$$
$$x=\frac{3}{2}$$
La solution de cette équation est :

Nous allons calculer l'image de $$5$$ par $$f$$ et vérifier si le résultat est bien $$\frac{5}{3}$$ .
$$f\left(5\right)=\frac{2\times 5-5}{5-2}$$
$$f\left(5\right)=\frac{10-5}{3}$$

Le point $$A\left(5;\frac{5}{3}\right)$$ appartient bien à la courbe $$\mathscr{C_f}$$ .

Pour déterminer l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $$-2$$, il nous suffit de calculer l'image de $$-2$$ par $$f$$ .
$$f\left(-2\right)=\frac{2\times \left(-2\right)-5}{-2-2}$$
$$f\left(-2\right)=\frac{-4-5}{-4}$$
$$f\left(-2\right)=\frac{-9}{-4}$$

L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $$-2$$ est alors $$\frac{9}{4}$$ .

Un point appartenant à l'axe des ordonnées, signifie que son abscisse est nulle.
Autrement dit, il nous faut calculer $$f\left(0\right)$$.
$$f\left(0\right)=\frac{2\times 0-5}{0-2}$$
$$f\left(0\right)=\frac{-5}{-2}$$
$$f\left(0\right)=\frac{5}{2}$$
Ainsi le point d'intersection entre $$\mathscr{C_{f}}$$ et l'axe des ordonnées a pour cordonnées $$\left(0;\frac{5}{2}\right)$$.