Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

20 min
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Question 1

Expliquer pourquoi cos⁡(25π3)=12\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}

Correction
cos⁡(x+2kπ)=cos⁡(x)\cos \left(x+2k\pi \right)=\cos \left(x\right) où k∈Zk\in \mathbb{Z}

cos⁡(25π3)=cos⁡(24π+π3)\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{24\pi+\pi}{3} \right)
cos⁡(25π3)=cos⁡(24π3+π3)\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{24\pi}{3}+\frac{\pi}{3} \right)
cos⁡(25π3)=cos⁡(8π+π3)\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(8\pi +\frac{\pi}{3} \right)
cos⁡(25π3)=cos⁡(4×2π+π3)\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(4\times 2\pi +\frac{\pi}{3} \right)
cos⁡(25π3)=cos⁡(π3)\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)
Or : cos⁡(π3)=12\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}. Ainsi : cos⁡(25π3)=12\cos \left(\frac{25\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}
Question 2

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : cos⁡(x)=12\cos \left(x \right)=\frac{1}{2}

Correction
cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.

On sait que : cos⁡(x)=12\cos \left(x\right)=\frac{1}{2} . Or cos⁡(π3)=12\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2} .
Cela nous ramène donc à résoudre : cos⁡(x)=cos⁡(π3)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right).
cos⁡(x)=cos⁡(π3)⇔{x=π3+2kπoux=−π3+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={−π3+2kπ;π3+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\}
avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Question 3

Donnez les solutions de l'équation précédente qui sont des mesures principales d'un angle.

Correction
Une mesure principale d'un angle appartient à l'intervalle ]−π;π]\left]-\pi ;\pi \right].
Les solutions de l'équation cos⁡(x)=12\cos \left(x\right)=\frac{1}{2} sont
S={−π3+2kπ;π3+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\}
avec k∈Rk\in \mathbb{R}
Ainsi la mesure π3\frac{\pi }{3} et −π3-\frac{\pi }{3} sont des mesures principales.
D'où :
S={−π3;π3}S=\left\{-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right\}
.
Question 4

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : sin⁡(x)=sin⁡(5π8)\sin \left(x \right)=\sin \left(\frac{5\pi}{8} \right)

Correction
sin⁡(a)=sin⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=π−b+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.

Cela nous ramène donc à résoudre : sin⁡(x)=sin⁡(5π8)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right).
sin⁡(x)=sin⁡(5π8)⇔{x=5π8+2kπoux=π−5π8+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Finalement : sin⁡(x)=sin⁡(5π8)⇔{x=5π8+2kπoux=3π8+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{8} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{8} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{8} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={3π8+2kπ;5π8+2kπ}S=\left\{\frac{3\pi }{8} +2k\pi ;\frac{5\pi }{8} +2k\pi \right\}
avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.

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