Résoudre une inéquation quotient - Exercice 1

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{2x-8}{x+3}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$2x-8=0\Leftrightarrow 2x=8\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{2}=4$$
Soit $$x\mapsto 2x-8$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-8$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$$ . Attention, ici $$x=-3$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto x+3$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+3$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=-3$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{2x-8}{x+3}\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{2x-8}{x+3}\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, la valeur $$x=4$$ qui annule le numérateur fait partie des solutions (crochet fermé), mais la valeur interdite $$x=-3$$ n'en fait jamais partie (crochet ouvert).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{x+5}{2x-6}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x+5=0\Leftrightarrow x=-5$$
Soit $$x\mapsto x+5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$2x-6=0\Leftrightarrow 2x=6\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{2}=3$$ . Attention, ici $$x=3$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 2x-6$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-6$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=3$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{x+5}{2x-6}>0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{x+5}{2x-6}>0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, la valeur $$x=-5$$ qui annule le numérateur ne fait pas partie des solutions, et la valeur interdite $$x=3$$ n'en fait jamais partie (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{-3x+6}{x+1}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-3x+6=0\Leftrightarrow -3x=-6\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{-3}=2$$
Soit $$x\mapsto -3x+6$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-3<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-3x+6$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$$ . Attention, ici $$x=-1$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto x+1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=-1$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{-3x+6}{x+1}\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{-3x+6}{x+1}\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, la valeur $$x=2$$ qui annule le numérateur fait partie des solutions (crochet fermé), mais la valeur interdite $$x=-1$$ n'en fait jamais partie (crochet ouvert).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{4x-4}{-x+6}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$4x-4=0\Leftrightarrow 4x=4\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{4}=1$$
Soit $$x\mapsto 4x-4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=4>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$4x-4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$-x+6=0\Leftrightarrow -x=-6\Leftrightarrow x=6$$ . Attention, ici $$x=6$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto -x+6$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-x+6$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=6$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=6$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{4x-4}{-x+6}<0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{4x-4}{-x+6}<0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, la valeur $$x=1$$ qui annule le numérateur ne fait pas partie des solutions, et la valeur interdite $$x=6$$ n'en fait jamais partie (crochets ouverts).
Ainsi :