Résoudre une inéquation produit - Exercice 1

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(2x+6\right)\left(x-5\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$2x+6=0\Leftrightarrow 2x=-6\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{2}=-3$$
Soit $$x\mapsto 2x+6$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x+6$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x-5=0\Leftrightarrow x=5$$
Soit $$x\mapsto x-5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(2x+6\right)\left(x-5\right)<0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(2x+6\right)\left(x-5\right)<0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le produit ne font pas partie des solutions (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(-4x+8\right)\left(3x+9\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-4x+8=0\Leftrightarrow -4x=-8\Leftrightarrow x=\dfrac{-8}{-4}=2$$
Soit $$x\mapsto -4x+8$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-4<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-4x+8$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$3x+9=0\Leftrightarrow 3x=-9\Leftrightarrow x=\dfrac{-9}{3}=-3$$
Soit $$x\mapsto 3x+9$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x+9$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(-4x+8\right)\left(3x+9\right)\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(-4x+8\right)\left(3x+9\right)\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le produit font partie des solutions (crochets fermés).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(x+7\right)\left(2x-4\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x+7=0\Leftrightarrow x=-7$$
Soit $$x\mapsto x+7$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+7$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-7$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$2x-4=0\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{2}=2$$
Soit $$x\mapsto 2x-4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(x+7\right)\left(2x-4\right)>0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(x+7\right)\left(2x-4\right)>0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le produit ne font pas partie des solutions (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(-3x-3\right)\left(-x+5\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-3x-3=0\Leftrightarrow -3x=3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{-3}=-1$$
Soit $$x\mapsto -3x-3$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-3<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-3x-3$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-1$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$-x+5=0\Leftrightarrow -x=-5\Leftrightarrow x=5$$
Soit $$x\mapsto -x+5$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-x+5$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(-3x-3\right)\left(-x+5\right)\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(-3x-3\right)\left(-x+5\right)\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le produit font partie des solutions (crochets fermés).
Ainsi :