Inéquations quotients : pour aller plus loin - Exercice 1

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{\left(2x+6\right)\left(x-1\right)^{2}}{x-5}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$2x+6=0\Leftrightarrow 2x=-6\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{2}=-3$$
Soit $$x\mapsto 2x+6$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x+6$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$\left(x-1\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$x-1=0\Leftrightarrow x=1$$ .
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(x-1\right)^{2}$$, sauf pour $$x=1$$ où l'on mettra $$0$$.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$x-5=0\Leftrightarrow x=5$$ . Attention, ici $$x=5$$ est une valeur interdite.
Soit $$x\mapsto x-5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=5$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{\left(2x+6\right)\left(x-1\right)^{2}}{x-5}>0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{\left(2x+6\right)\left(x-1\right)^{2}}{x-5}>0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le numérateur, $$x=-3$$ et $$x=1$$, ne font pas partie des solutions, et la valeur interdite $$x=5$$ n'en fait jamais partie (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{\left(x-3\right)\left(2x+4\right)^{2}}{x+1}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x-3=0\Leftrightarrow x=3$$
Soit $$x\mapsto x-3$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-3$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$\left(2x+4\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$2x+4=0\Leftrightarrow 2x=-4\Leftrightarrow x=\dfrac{-4}{2}=-2$$ .
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(2x+4\right)^{2}$$, sauf pour $$x=-2$$ où l'on mettra $$0$$.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$$ . Attention, ici $$x=-1$$ est une valeur interdite.
Soit $$x\mapsto x+1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=-1$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{\left(x-3\right)\left(2x+4\right)^{2}}{x+1}<0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{\left(x-3\right)\left(2x+4\right)^{2}}{x+1}<0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le numérateur, $$x=-2$$ et $$x=3$$, ne font pas partie des solutions, et la valeur interdite $$x=-1$$ n'en fait jamais partie (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{\left(-x+2\right)\left(x-5\right)^{2}}{3x+6}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-x+2=0\Leftrightarrow -x=-2\Leftrightarrow x=2$$
Soit $$x\mapsto -x+2$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-x+2$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$\left(x-5\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$x-5=0\Leftrightarrow x=5$$ .
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(x-5\right)^{2}$$, sauf pour $$x=5$$ où l'on mettra $$0$$.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$3x+6=0\Leftrightarrow 3x=-6\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{3}=-2$$ . Attention, ici $$x=-2$$ est une valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 3x+6$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x+6$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=-2$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{\left(-x+2\right)\left(x-5\right)^{2}}{3x+6}\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{\left(-x+2\right)\left(x-5\right)^{2}}{3x+6}\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le numérateur, $$x=2$$ et $$x=5$$, font partie des solutions. Le quotient est négatif sur $$\left]2;5\right[$$ et sur $$\left]5;+\infty\right[$$, et il vaut $$0$$ en $$x=5$$ : ces deux morceaux se rejoignent donc en un seul intervalle $$\left[2;+\infty\right[$$. La valeur interdite $$x=-2$$ n'en fait jamais partie (crochet ouvert).
Ainsi :