Primitives un peu plus compliquées - Exercice 1

Nous allons mettre l'expression au même dénominateur puis résoudre un système par identification.
Il vient alors :
$$f\left(x\right)=a+\frac{b}{2x+3}$$ équivaut successivement à
$$f\left(x\right)=\frac{a\left(2x+3\right)}{2x+3} +\frac{b}{2x+3}$$
$$f\left(x\right)=\frac{2ax+3a+b}{2x+3}$$
On doit avoir :
Il faut que les numérateurs soient égaux.
Or deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux.
On en déduit le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}2a}} & {=} & {{\color{blue}3}} \\ {{\color{red}3a+b}} & {=} & {{\color{red}4}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{3}{2} } \\ {3a+b} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{3}{2} } \\ {3\times \frac{3}{2} +b} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{3}{2} } \\ {\frac{9}{2} +b} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{3}{2} } \\ {b} & {=} & {4-\frac{9}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{3}{2} } \\ {b} & {=} & {\frac{-1}{2} } \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que :

On sait que :
$$f\left(x\right)=\frac{3}{2} +\frac{\left(\frac{-1}{2} \right)}{2x+3}$$, autrement dit : $$f\left(x\right)=\frac{3}{2} +\left(\frac{-1}{2} \right)\times \frac{1}{2x+3}$$
Pour calculer les primitives de $$f$$.
Commençons par calculer les primitives de $$g\left(x\right)=\left(\frac{-1}{2} \right)\times \frac{1}{2x+3}$$
On reconnait une forme $$\frac{u'}{u}$$

Finalement :
Or $$F\left(-1\right)=2$$ équivaut successivement à
$$\frac{3}{2} \times \left(-1\right)-\frac{1}{4} \ln \left(2\times \left(-1\right)+3\right)+k=2$$
$$-\frac{3}{2} +k=2$$
$$$$
On peut conclure que :