Démontrons que $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1$$ - Exercice 1

On considère la fonction $$f$$ définie sur l'intervalle $$] -1;+\infty[$$ par : $$f(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$$ et nous souhaitons calculer $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln (1+x)}{x}$$.
Posons la fonction $$h:\mapsto \ln (1+x)$$ et $$h\left(0\right)=0$$. La fonction $$h$$ étant dérivable sur $$] -1;+\infty[$$ alors $$h$$ est dérivable en $$0$$.
Ainsi :
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{h\left(x\right)-h\left(0\right)}{x-0}$$.
D'après la définition : $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{h\left(x\right)-h\left(0\right)}{x-0}=h'\left(0\right)$$.
Pour tout réel $$x$$ de l'intervalle $$] -1;+\infty[$$, on a alors : $$h'\left(x\right)=\frac{1}{1+x}$$ et $$h'\left(0\right)=\frac{1}{1+0}=1$$
D'où :