Sujet Métropole (secours) – 12 juin 2026 - Exercice 1

Lisons le signe de la fonction représentée par $$\mathcal{C}'$$ et les variations de la fonction représentée par $$\mathcal{C}$$ :

• sur $$\left[-2;1\right]$$, la courbe $$\mathcal{C}'$$ est au-dessus de l'axe des abscisses (fonction positive) et la courbe $$\mathcal{C}$$ monte (fonction croissante) ;
• sur $$\left[1;3\right]$$, $$\mathcal{C}'$$ est en dessous de l'axe des abscisses (fonction négative) et $$\mathcal{C}$$ descend (fonction décroissante) ;
• à partir de $$3$$, $$\mathcal{C}'$$ est de nouveau au-dessus de l'axe et $$\mathcal{C}$$ monte ;
• en $$1$$ et en $$3$$, la fonction représentée par $$\mathcal{C}'$$ s'annule et $$\mathcal{C}$$ a une tangente horizontale (maximum en $$1$$, minimum en $$3$$).

L'inverse est impossible : la courbe $$\mathcal{C}$$ est toujours au-dessus de l'axe des abscisses, donc si elle représentait une dérivée, la fonction représentée par $$\mathcal{C}'$$ serait croissante. Or $$\mathcal{C}'$$ descend entre $$0$$ et $$2$$.
Ainsi :

On sait que la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse $$0$$ est : $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
D'une part :
la courbe $$\mathcal{C}$$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $$\left(0;9\right)$$ alors $$f\left(0\right)=9$$
D'autre part :
la courbe $$\mathcal{C}'$$, qui représente $$f'$$, coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $$\left(0;3\right)$$ alors $$f'\left(0\right)=3$$

Ainsi : $$y=3\left(x-0\right)+9$$
Enfin :

Développons $$\left(t-3\right)^{2}$$ à l'aide de l'identité remarquable :
$$\left(t-3\right)^{2}=t^{2}-2\times t\times 3+3^{2}=t^{2}-6t+9$$
Il en résulte donc que, pour tout réel $$t$$ :
Pour tout réel $$t$$, $$e^{t}\gt 0$$ et $$\left(t-3\right)^{2}\geqslant 0$$ (un carré est toujours positif). Par produit, $$f\left(t\right)\geqslant 0$$, et $$f\left(t\right)=0$$ seulement lorsque $$t-3=0$$, c'est-à-dire pour $$t=3$$.
Ainsi :

$$f\left(0\right)=e^{0}\left(0-3\right)^{2}=1\times 9$$ d'où
La densité est exprimée en milliers de bactéries par millilitre : au début de l'observation, au moment où l'antibiotique est introduit, il y a $$9\,000$$ bactéries par millilitre.

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(t\right)=e^{t}$$ et $$v\left(t\right)=t^{2}-6t+9$$.
Ainsi $$u'\left(t\right)=e^{t}$$ et $$v'\left(t\right)=2t-6$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(t\right)=e^{t}\left(t^{2}-6t+9\right)+e^{t}\left(2t-6\right)$$
Ici, nous allons factoriser par $$e^{t}$$. Ce qui nous donne :
$$f'\left(t\right)={\color{blue}{e^{t}}}\left(t^{2}-6t+9+2t-6\right)$$
D'où :

Pour tout réel $$t$$, on a $$e^{t}\gt 0$$ : le signe de $$f'\left(t\right)$$ est donc celui du trinôme $$t^{2}-4t+3$$.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$t^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$t$$ d'où $$b=-4$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=3$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 3$$
$$\Delta=16-12=4$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors le trinôme admet deux racines réelles distinctes notées $$t_{1}$$ et $$t_{2}$$ telles que :
$$t_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$t_{1}=\dfrac{-\left(-4\right)-\sqrt{4}}{2\times 1}$$ d'où $$t_{1}=1$$
$$t_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$t_{2}=\dfrac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\times 1}$$ d'où $$t_{2}=3$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ et que nous connaissons les racines $$t_{1}=1$$ et $$t_{2}=3$$, le tableau de signe du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=1\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$t^{2}-4t+3$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :On en déduit le signe de $$f'\left(t\right)$$ :Ainsi :

D'après la question précédente :

• sur $$\left[0;1\right]$$, $$f'\left(t\right)\geqslant 0$$ donc $$f$$ est croissante ;
• sur $$\left[1;3\right]$$, $$f'\left(t\right)\leqslant 0$$ donc $$f$$ est décroissante ;
• sur $$\left[3;+\infty\right[$$, $$f'\left(t\right)\geqslant 0$$ donc $$f$$ est croissante.

Calculons les images utiles :
$$f\left(0\right)=9$$ (question 4)
$$f\left(1\right)=e^{1}\left(1-3\right)^{2}=4e$$, soit environ $$4\times 2{,}7=10{,}8$$
$$f\left(3\right)=e^{3}\left(3-3\right)^{2}=0$$
Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :Interprétation : la densité de bactéries augmente pendant la première heure, jusqu'à environ $$10\,800$$ bactéries par millilitre, puis diminue jusqu'à $$0$$ au bout de $$3$$ heures.