Sujet Métropole – 11 septembre 2026 - Exercice 1

Le décollage correspond à $$t=0$$.
$$f\left(0\right)=\dfrac{4\times 0+1}{e^{0}}=\dfrac{1}{1}$$ d'où
Au moment du décollage, la montgolfière est à $$1$$ km d'altitude : c'est l'altitude du village.

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;5\right]$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$$ avec $$u\left(t\right)=4t+1$$ et $$v\left(t\right)=e^{t}$$.
Ainsi $$u'\left(t\right)=4$$ et $$v'\left(t\right)=e^{t}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(t\right)=\dfrac{4\times e^{t}-\left(4t+1\right)\times e^{t}}{\left(e^{t}\right)^{2}}$$. Il faut factoriser par $$e^{t}$$.
$$f'\left(t\right)=\dfrac{e^{t}\left(4-4t-1\right)}{\left(e^{t}\right)^{2}}$$. Or $$\left(e^{t}\right)^{2}=e^{t}\times e^{t}$$
$$f'\left(t\right)=\dfrac{e^{t}\left(3-4t\right)}{e^{t}\times e^{t}}$$. Il ne nous reste plus qu'à simplifier par $$e^{t}$$. Ce qui nous donne :

Pour tout réel $$t$$, on a $$e^{t}\gt 0$$ : le signe de $$f'\left(t\right)$$ est donc celui de $$3-4t$$.
$$3-4t\geqslant 0\Leftrightarrow -4t\geqslant -3\Leftrightarrow t\leqslant\dfrac{-3}{-4}\Leftrightarrow t\leqslant\dfrac{3}{4}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$3-4t$$ lorsque $$t$$ sera inférieur ou égal à $$\dfrac{3}{4}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$t\in\left[0;\dfrac{3}{4}\right]$$ alors $$f'\left(t\right)\geqslant 0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$t\in\left[\dfrac{3}{4};5\right]$$ alors $$f'\left(t\right)\leqslant 0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :D'après le tableau ci-dessus, $$f'$$ s'annule en changeant de signe en $$\dfrac{3}{4}$$ donc $$f$$ admet un extremum local en $$\dfrac{3}{4}$$. Comme $$f$$ est croissante avant $$\dfrac{3}{4}$$ et décroissante après, cet extremum est un maximum.
Ainsi :
Ce maximum vaut $$f\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{4\times\dfrac{3}{4}+1}{e^{0{,}75}}=\dfrac{4}{e^{0{,}75}}$$, soit environ $$1{,}89$$ km.

D'après la question précédente, $$f$$ est croissante sur $$\left[0;\dfrac{3}{4}\right]$$ puis décroissante sur $$\left[\dfrac{3}{4};5\right]$$ : la montgolfière monte, puis commence à perdre de l'altitude à l'instant $$t=\dfrac{3}{4}$$ d'heure.
Or $$\dfrac{3}{4}$$ h $$=\dfrac{3}{4}\times 60$$ min $$=45$$ min.
$$10$$ h $$50$$ min $$+\ 45$$ min $$=10$$ h $$95$$ min $$=11$$ h $$35$$ min.
Ainsi :