Sujet Amérique du Nord – 1^er juin 2026 - Exercice 1

25 min

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par :

f(x)=\left(4x-4\right)e^{-0{,}5x}+5

.
On note

\mathcal{C}_f

sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
On admet que

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

et on note

f'

sa fonction dérivée.

Question 1

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f'(x)=\left(-2x+6\right)e^{-0{,}5x}$ .

Correction

\text{\purple{Dérivée du produit}}

On considère deux fonctions

u

v

, dérivables sur un intervalle

I

alors

\left(uv\right)'=u'v+uv'

\left(e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}} \right)^{'} ={\color{blue}a}e^{{\color{blue}a}x+{\color{red}b}}

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

.
Ici on reconnaît la forme

\left(uv\right)'=u'v+uv'

avec

u\left(x\right)=4x-4

v\left(x\right)=e^{-0{,}5x}

.
Pour dériver

v

v\left(x\right)=e^{{\color{blue}-0{,}5}x}

, ici nous avons

{\color{blue}a=-0{,}5}

{\color{red}b=0}

.
Ainsi

u'\left(x\right)=4

v'\left(x\right)={\color{blue}-0{,}5}e^{{\color{blue}-0{,}5}x}

. La constante

5

a pour dérivée

0

.
Il vient alors que :

f'\left(x\right)=4\times e^{-0{,}5x}+\left(4x-4\right)\times\left(-0{,}5e^{-0{,}5x}\right)+0

f'\left(x\right)=4e^{-0{,}5x}+\left(-2x+2\right)e^{-0{,}5x}

Ici, nous allons factoriser par

e^{-0{,}5x}

. Ce qui nous donne :

f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-0{,}5x}}}\left(4-2x+2\right)

D'où :

f'\left(x\right)=\left(-2x+6\right)e^{-0{,}5x}

Question 2

Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Correction

La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel $x$ , on a : $e^{x}\gt 0$

Si $f'$ est négative sur $\left[a;b\right]$ alors $f$ est décroissante sur $\left[a;b\right]$ .
Si $f'$ est positive sur $\left[a;b\right]$ alors $f$ est croissante sur $\left[a;b\right]$ .

Nous savons que :

f'\left(x\right)=\left(-2x+6\right)e^{-0{,}5x}

Pour tout réel

x

, on a

e^{-0{,}5x}\gt 0

: le signe de

f'\left(x\right)

est donc celui de

-2x+6

-2x+6\geqslant 0\Leftrightarrow -2x\geqslant -6\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{-6}{-2}\Leftrightarrow x\leqslant 3

Cela signifie que l'on va mettre le signe

+

dans la ligne de

-2x+6

lorsque

x

sera inférieur ou égal à

3

.
Il en résulte donc que :

si $x\in\left]-\infty;3\right]$ alors $f'\left(x\right)\geqslant 0$ et donc $f$ est croissante sur cet intervalle.
si $x\in\left[3;+\infty\right[$ alors $f'\left(x\right)\leqslant 0$ et donc $f$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

De plus :

f\left(3\right)=\left(4\times 3-4\right)e^{-0{,}5\times 3}+5

f\left(3\right)=8e^{-1{,}5}+5

Question 3

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.

Correction

Le nombre $f'\left(a\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ .
Une équation de cette tangente est : $y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$ .

La tangente au point d'abscisse

a

est horizontale lorsque son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire lorsque

f'\left(a\right)=0

. On résout donc l'équation

f'\left(x\right)=0

\left(-2x+6\right)e^{-0{,}5x}=0

équivaut successivement à :

-2x+6=0

(car

e^{-0{,}5x}\gt 0

: l'exponentielle ne s'annule jamais)

-2x=-6

x=3

La tangente est donc horizontale uniquement au point d'abscisse

3

, dont l'ordonnée est

f\left(3\right)=8e^{-1{,}5}+5

(question 2).
Ainsi :

\mathcal{C}_f

admet un seul point où la tangente est horizontale : le point de coordonnées

\left(3;8e^{-1{,}5}+5\right)

Ce point correspond au maximum de

f

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Sujet Amérique du Nord – 1er juin 2026 - Exercice 1

Montrer que, pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R, f′(x)=(−2x+6)e−0,5xf'(x)=\left(-2x+6\right)e^{-0{,}5x}f′(x)=(−2x+6)e−0,5x.

Étudier le signe de f′(x)f'(x)f′(x) sur R\mathbb{R}R puis en déduire les variations de la fonction fff sur R\mathbb{R}R.

La courbe Cf\mathcal{C}_fCf​ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.

Sujet Amérique du Nord – 1^er juin 2026 - Exercice 1

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f'(x)=\left(-2x+6\right)e^{-0{,}5x}$ .

Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.