Résolution des équations utilisant l'identité remarquable $$a^{2}-b^{2}$$ - Exercice 2

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(5x+7\right)^{2} -36=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(5x+7\right)^{2} -6^{2}=0$$
Ici nous avons $${\color{red}a=5x+7}$$ et $${\color{blue}b=6}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{red}5x+7}-{\color{blue}6}\right)\left({\color{red}5x+7}+{\color{blue}6}\right)=0$$
$$\left(5x+1\right)\left(5x+13\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(5x+1\right)\left(5x+13\right)=0$$ revient à résoudre :
$$5x+1=0$$ ou $$5x+13=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$5x+1=0$$ qui donne $$5x=-1$$ d'où $$x=\frac{-1}{5}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$5x+13=0$$ qui donne $$5x=-13$$ d'où $$x=\frac{-13}{5}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(6x-1\right)^{2}-\left(4x-9\right)^{2}=0$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{red}6x-1}\right)^{2}-\left({\color{blue}4x-9}\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $${\color{red}a=6x-1}$$ et $${\color{blue}b=4x-9}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{red}6x-1}-{\color{blue}(4x-9)}\right)\left({\color{red}6x-1}+{\color{blue}(4x-9)}\right)=0$$
$$\left({\color{red}6x-1}-{\color{blue}4x+9}\right)\left({\color{red}6x-1}+{\color{blue}4x-9}\right)=0$$
$$\left(2x+8\right)\left(10x-10\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(2x+8\right)\left(10x-10\right)=0$$ revient à résoudre :
$$2x+8=0$$ ou $$10x-10=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$2x+8=0$$ qui donne $$2x=-8$$ d'où $$x=-\frac{8}{2}=-4$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$10x-10=0$$ qui donne $$10x=10$$ d'où $$x=\frac{10}{10}=1$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(2x+5\right)^{2}-\left(7x-4\right)^{2}=0$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{red}2x+5}\right)^{2}-\left({\color{blue}7x-4}\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $${\color{red}a=2x+5}$$ et $${\color{blue}b=7x-4}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{red}2x+5}-{\color{blue}(7x-4)}\right)\left({\color{red}2x+5}+{\color{blue}(7x-4)}\right)=0$$
$$\left({\color{red}2x+5}-{\color{blue}7x+4}\right)\left({\color{red}2x+5}+{\color{blue}7x-4}\right)=0$$
$$\left(-5x+9\right)\left(9x+1\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(-5x+9\right)\left(9x+1\right)=0$$ revient à résoudre :
$$-5x+9=0$$ ou $$9x+1=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$-5x+9=0$$ qui donne $$-5x=-9$$ d'où $$x=\frac{-9}{-5}=\frac{9}{5}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$9x+1=0$$ qui donne $$9x=-1$$ d'où $$x=\frac{-1}{9}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$64-\left(4x-12\right)^{2}=0$$ équivaut successivement à :
$$8^{2}-\left(4x-12\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $${\color{red}a=8}$$ et $${\color{blue}b=4x-12}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{red}8}-{\color{blue}(4x-12)}\right)\left({\color{red}8}+{\color{blue}(4x-12)}\right)=0$$
$$\left({\color{red}8}-{\color{blue}4x+12}\right)\left({\color{red}8}+{\color{blue}4x-12}\right)=0$$
$$\left(20-4x\right)\left(4x-4\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(20-4x\right)\left(4x-4\right)=0$$ revient à résoudre :
$$20-4x$$ ou $$4x-4=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$20-4x=0$$ qui donne $$-4x=-20$$ d'où $$x=\frac{-20}{-4}=5$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$4x-4=0$$ qui donne $$4x=4$$ d'où $$x=\frac{4}{4}=1$$

Les solutions de l'équation sont alors :