Sujet Type bac : Mise à jour d'un sujet donné en 2005 - Exercice 1

40 min
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Partie A
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3ex42+ex4f\left(x\right)=\frac{3e^{\frac{x}{4} } }{2+e^{\frac{x}{4} } }
Question 1

Démontrer que f(x)=31+2e−x4f\left(x\right)=\frac{3}{1+2e^{-\frac{x}{4} } } .

Correction
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3ex42+ex4f\left(x\right)=\frac{3e^{\frac{x}{4} } }{2+e^{\frac{x}{4} } }
Nous allons factoriser le numérateur et le dénominateur par ex4e^{\frac{x}{4} }
Pour tout réel xx, on a :
f(x)=ex4×3ex4×(2+ex4ex4)f\left(x\right)=\frac{e^{\frac{x}{4} } \times 3}{e^{\frac{x}{4} } \times \left(\frac{2+e^{\frac{x}{4} } }{e^{\frac{x}{4} } } \right)}
f(x)=ex4×3ex4×(2ex4+ex4ex4)f\left(x\right)=\frac{e^{\frac{x}{4} } \times 3}{e^{\frac{x}{4} } \times \left(\frac{2}{e^{\frac{x}{4} } } +\frac{e^{\frac{x}{4} } }{e^{\frac{x}{4} } } \right)}
f(x)=ex4×3ex4×(2ex4+1)f\left(x\right)=\frac{e^{\frac{x}{4} } \times 3}{e^{\frac{x}{4} } \times \left(\frac{2}{e^{\frac{x}{4} } } +1\right)}
f(x)=ex4×3ex4×(2ex4+1)f\left(x\right)=\frac{\red{\cancel{e^{\frac{x}{4} }} }\times 3}{\red{\cancel{e^{\frac{x}{4} }}} \times \left(\frac{2}{e^{\frac{x}{4} } } +1\right)}
f(x)=32ex4+1f\left(x\right)=\frac{3}{\frac{2}{e^{\frac{x}{4} } } +1}
  • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
Ainsi :
f(x)=32e−x4+1f\left(x\right)=\frac{3}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}

Question 2

Etudier la limite de la fonction ff en +∞+\infty . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞32e−x4+1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}
Dans un premier temps, nous allons calculer lim⁡x→+∞2e−x4\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-\frac{x}{4}} .
Ici, il s’agit d’une limite par composition.\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞−x4=−∞\lim\limits_{x\to \color{red}+\infty } -\frac{x}{4}={\color{blue}-\infty}.
On pose X=−x4X=-\frac{x}{4}. Lorsque xx tend vers +∞{\color{red}+\infty} alors XX tend vers −∞{\color{blue}-\infty}.
Ainsi : lim⁡X→−∞2eX=0\lim\limits_{X\to {\color{blue}-\infty} } 2e^{X} ={\color{green}0} .
Par composition :
lim⁡x→+∞2e−x4=0\lim\limits_{x\to \color{red}+\infty } 2e^{-\frac{x}{4}} ={\color{green}0}

Il en résulte donc que :
lim⁡x→+∞3=3lim⁡x→+∞2e−x4+1=1}par quotient :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-\frac{x}{4} } +1 } & {=} & {1 } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient :}}}
lim⁡x→+∞f(x)=3\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=3
  • Si lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
    • La courbe Cf\mathscr{C_f} admet au voisinage de +∞+\infty une asymptote horizontale d'équation
    y=3y=3
    .
    Question 3

    Etudier la limite de la fonction ff en −∞-\infty . Que peut-on en déduire graphiquement ?

    Correction
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞32e−x4+1\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}
    Dans un premier temps, nous allons calculer lim⁡x→−∞2e−x4\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{-\frac{x}{4}} .
    Ici, il s’agit d’une limite par composition.\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}
    On commence par calculer lim⁡x→−∞−x4=+∞\lim\limits_{x\to \color{red}-\infty } -\frac{x}{4}={\color{blue}+\infty}.
    On pose X=−x4X=-\frac{x}{4}. Lorsque xx tend vers −∞{\color{red}-\infty} alors XX tend vers +∞{\color{blue}+\infty}.
    Ainsi : lim⁡X→+∞2eX=+∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty} } 2e^{X} ={\color{green}+\infty} .
    Par composition :
    lim⁡x→−∞2e−x4=+∞\lim\limits_{x\to \color{red}-\infty } 2e^{-\frac{x}{4}} ={\color{green}+\infty}

    Il en résulte donc que :
    lim⁡x→−∞3=3lim⁡x→−∞2e−x4+1=+∞}par quotient :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{-\frac{x}{4} } +1 } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient :}}}
    lim⁡x→−∞f(x)=0\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=0
  • Si lim⁡x→−∞f(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
    • La courbe Cf\mathscr{C_f} admet au voisinage de −∞-\infty une asymptote horizontale d'équation
    y=0y=0
    .
    Question 4

    Etudier les variations de la fonction ff.

    Correction
    D'après la question 11, soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=32e−x4+1f\left(x\right)=\frac{3}{2e^{-\frac{x}{4} } +1} que l'on peut écrire f(x)=3×12e−x4+1f\left(x\right)=3\times\frac{1}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}
    ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
    On reconnait la forme :
      Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
    On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
    (1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
    On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=2e−x4+1v\left(x\right)=2e^{-\frac{x}{4} } +1
    Ainsi : v′(x)=2×(−14)e−x4v'\left(x\right)=2\times\left(-\frac{1}{4}\right)e^{-\frac{x}{4} }.
    Il vient alors que :
    f′(x)=3×−(2×(−14)e−x4)(1+2e−x4)2f'\left(x\right)=3\times \frac{-\left(2\times \left(-\frac{1}{4} \right)e^{-\frac{x}{4} } \right)}{\left(1+2e^{-\frac{x}{4} } \right)^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=32×e−x4(1+2e−x4)2f'\left(x\right)=\frac{3}{2} \times \frac{e^{-\frac{x}{4} } }{\left(1+2e^{-\frac{x}{4} } \right)^{2} }

    Pour tout réel xx, on peut affirmer que e−x4>0e^{-\frac{x}{4} }>0 et que (1+2e−x4)2>0\left(1+2e^{-\frac{x}{4} } \right)^{2}>0.
    Il en résulte donc que, pour tout réel xx, f′(x)>0f'\left(x\right)>0 et de ce fait la fonction ff est strictement croissante sur R\mathbb{R} .
    Question 5
    Partie B
    On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps tt, est notée g(t)g\left(t\right). On définit ainsi une fonction gg de l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ dans R\mathbb{R} . La variable réelle tt désigne te temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t)g\left(t\right) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour gg une solution, sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[, de l'équation différentielle (E1)\left(E_1\right) : y′=y4y'=\frac{y}{4}

    Résoudre l'équation différentielle (E1)\left(E_1\right) .

    Correction
    Soit l'équation différentielle (E1)\left(E_1\right) : y′=y4y'=\frac{y}{4} que l'on peut également écrire sous la forme y′=14yy'=\frac{1}{4}y .
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=14a=\frac{1}{4} .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : g(t)=ke14tg\left(t\right)=ke^{\frac{1}{4}t} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    g(t)=ke14tg\left(t\right)=ke^{\frac{1}{4}t}
    où kk est une constante réelle.
    Question 6

    Déterminer l’expression de g(t)g\left(t\right) lorsque, à la date t=0t = 0, la population comprend 100100 rongeurs, c’est-à-dire g(0)=1g\left(0\right)=1 .

    Correction
    D'après la question précédente, nous savons que
    g(t)=ke14tg\left(t\right)=ke^{\frac{1}{4}t}
    où kk est une constante réelle.
    Or, d'après l'énoncé, on sait que g(0)=1g\left(0\right)=1 .
    Cette information va nous permettre de déterminer la valeur du réelle kk .
    Comme g(0)=1g\left(0\right)=1 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke14×0=1ke^{\frac{1}{4}\times 0}=1 équivaut successivement à :
    ke0=1ke^{0}=1 . Nous savons que e0=1e^{0}=1 .
    k=1k=1
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=14yy'=\frac{1}{4}y telle que g(0)=1g\left(0\right)=1 est alors :
    g(t)=e14tg\left(t\right)=e^{\frac{1}{4}t}

    Question 7

    Après combien d’années la population dépassera-t-elle 300300 rongeurs pour la première fois ?

    Correction
    Il nous faut donc résoudre l'inéquation g(t)>3g\left(t\right)>3 .
    Ainsi :
    et4≥3e^{\frac{t}{4} } \ge 3 équivaut successivement à :
    ln⁡(et4)≥ln⁡(3)\ln \left(e^{\frac{t}{4} } \right)\ge \ln \left(3\right)
    t4≥ln⁡(3)\frac{t}{4} \ge \ln \left(3\right)
    t≥4ln⁡(3)t\ge 4\ln \left(3\right)
    Or : t≈4,39t\approx 4,39
    Donc la population dépassera les 300300 rongeurs pour la première fois après 55 ans.
    Question 8
    En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs.
    On note u(t)u\left(t\right) le nombre des rongeurs vivants au temps tt (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction uu, ainsi définie, satisfait aux conditions suivantes :
    (E2):{u′(t)=u(t)4−(u(t))212u(0)=1\left(E_2\right):\left\{\begin{array}{ccc} {u'\left(t\right)} & {=} & {\frac{u\left(t\right)}{4} -\frac{\left(u\left(t\right)\right)^{2} }{12} } \\ {u\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right. pour tout nombre réel tt positif ou nul, où u′u' désigne la fonction dérivée de la fonction uu.

    On suppose que, pour tout réel positif tt, on a u(t)>0u\left(t\right)>0. On considère, sur l’intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[, la fonction hh définie par h=1uh =\frac{1}{u}.
    Démontrer que la fonction uu satisfait aux conditions (E2)\left(E_2\right) si et seulement si la fonction hh satisfait aux conditions suivantes :
    (E3):{h′(t)=−14h(t)+112h(0)=1\left(E_3\right):\left\{\begin{array}{ccc} {h'\left(t\right)} & {=} & {-\frac{1}{4} h\left(t\right)+\frac{1}{12} } \\ {h\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right. pour tout nombre réel tt positif ou nul, où h′h' désigne la fonction dérivée de la fonction hh.

    Correction
    Comme u(0)=1u\left(0\right)=1 alors h(0)=1u(0)=11=1h\left(0\right) =\frac{1}{u\left(0\right)}=\frac{1}{1}=1
    La fonction uu satisfait aux conditions (E2)\left(E_2\right) si et seulement si {u′(t)=u(t)4−(u(t))212u(0)=1\left\{\begin{array}{ccc} {u'\left(t\right)} & {=} & {\frac{u\left(t\right)}{4} -\frac{\left(u\left(t\right)\right)^{2} }{12} } \\ {u\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
    Nous savons que u(t)>0u\left(t\right)>0 ainsi (u(t))2>0\left(u\left(t\right)\right)^{2}>0 .
    Nous allons pouvoir diviser u2u^2 .
    On a donc :
    {u′(t)(u(t))2=u(t)4(u(t))2−(u(t))212(u(t))2u(0)=1\left\{\begin{array}{ccc} {\frac{u'\left(t\right)}{\left(u\left(t\right)\right)^{2}}} & {=} & {\frac{u\left(t\right)}{4\left(u\left(t\right)\right)^{2}} -\frac{\left(u\left(t\right)\right)^{2} }{12\left(u\left(t\right)\right)^{2}} } \\ {u\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {u′(t)(u(t))2=14u(t)−112u(0)=1\left\{\begin{array}{ccc} {\frac{u'\left(t\right)}{\left(u\left(t\right)\right)^{2}}} & {=} & {\frac{1}{4u\left(t\right)} -\frac{1 }{12} } \\ {u\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
    Comme h=1uh =\frac{1}{u} alors h′=−u′u2h' =\frac{-u'}{u^2} .
    De plus, u(0)=1u\left(0\right)=1 équivaut à h(0)=1h\left(0\right)=1.
    Il vient alors que :
    {−h′(t)=14h(t)−112h(0)=1\left\{\begin{array}{ccc} {-h'\left(t\right)} & {=} & {\frac{1}{4} h\left(t\right)-\frac{1}{12} } \\ {h\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
    Ce qui nous donne enfin :
    {h′(t)=−14h(t)+112h(0)=1\left\{\begin{array}{ccc} {h'\left(t\right)} & {=} & {-\frac{1}{4} h\left(t\right)+\frac{1}{12} } \\ {h\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right. pour tout nombre réel tt positif ou nul.
    Question 9

    Donner les solutions de l'équation différentielle y′=−14y+112y'=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{12} et en déduire l’expression de la fonction hh, puis celle de la fonction uu.

    Correction
    Les solutions de l'équation différentielle y′=−14y+112y'=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{12} sont les solutions de l'équation différentielle h′(t)=−14h(t)+112h'\left(t\right)=-\frac{1}{4}h\left(t\right)+\frac{1}{12}
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=−14a=-\frac{1}{4} et b=112b=\frac{1}{12}.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : h(t)=ke−14t−112(−14)h\left(t\right)=ke^{-\frac{1}{4}t} -\frac{\frac{1}{12}}{\left(-\frac{1}{4}\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    h(t)=ke−14t+13h\left(t\right)=ke^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3}
    où kk est une constante réelle.
    De plus, h(0)=1h\left(0\right)=1
    Il vient alors que :
    ke−14×0+13=1ke^{-\frac{1}{4}\times 0} +\frac{1}{3}=1
    k×e0+13=1k\times e^{0} +\frac{1}{3} =1
    k+13=1k+\frac{1}{3} =1
    k=1−13k=1-\frac{1}{3}
    k=23k=\frac{2}{3}
    D'où :
    h(t)=23e−14t+13h\left(t\right)=\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3}

    D'après les hypothèses nous savons que h=1uh =\frac{1}{u} ce qui permet d'écrire que u=1hu =\frac{1}{h}
    Ainsi :
    u(t)=123e−14t+13u\left(t\right)=\frac{1}{\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3}}
    Question 10

    Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque tt tend vers +∞+\infty ?

    Correction
    Pour cette question, il nous faut calculer lim⁡t→+∞u(t)=lim⁡t→+∞123e−14t+13\lim\limits_{t\to +\infty } u\left(t\right) =\lim\limits_{t\to +\infty } \frac{1}{\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3}}
    D'après la question 22, nous savons que lim⁡t→+∞e−t4=0\lim\limits_{t\to +\infty } e^{-\frac{t}{4}}=0
    Ainsi :
    lim⁡t→+∞1=1lim⁡t→+∞23e−14t+13=13}par quotient :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{t\to +\infty } 1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{t\to +\infty } \frac{2}{3}e^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3} } & {=} & {\frac{1}{3} } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient :}}}
    lim⁡t→+∞u(t)=3\lim\limits_{t\to +\infty } u\left(t\right)=3

    La taille de la population de rongeurs tend vers 300300 .

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