Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+fy'=ay+f - Exercice 4

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Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle 2y′−3y=12x−172y'-3y=12x-17 .
Question 1

Déterminer les réels aa et bb afin que la fonction h(x)=ax+bh\left(x\right)=ax+b soit une solution particulière de (E)\left(E\right) .

Correction
Nous savons que hh est une solution particulière de (E)\left(E\right) . On pose alors h(x)=ax+bh\left(x\right)=ax+b où aa et bb sont des réels.
hh est dérivable sur R\mathbb{R} et on a : h′(x)=ah'\left(x\right)=a .
Comme hh est une solution de l'équation (E)\left(E\right), on a alors :
2h′(x)−3h(x)=12x−172h'\left(x\right)-3h\left(x\right)=12x-17
2a−3(ax+b)=12x−172a-3\left(ax+b\right)=12x-17
2a−3ax−3b=12x−172a-3ax-3b=12x-17
−3ax+2a−3b=12x−17{\color{blue}{-3a}}x+\red{2a-3b}={\color{blue}{12}}x\red{-17}
Par identification, on obtient le système suivant :
{−3a=122a−3b=−17\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}{-3a}}} & {=} & {{\color{blue}{12}}} \\ {\red{2a-3b}} & {=} & {\red{-17}} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{a=12−32a−3b=−17\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{12}{-3}} \\ {2a-3b} & {=} & {-17} \end{array}\right.
{a=−42a−3b=−17\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-4 } \\ {2a-3b} & {=} & {-17} \end{array}\right.
{a=−42×(−4)−3b=−17\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-4 } \\ {2\times\left(-4\right)-3b} & {=} & {-17} \end{array}\right.
{a=−4−8−3b=−17\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-4 } \\ {-8-3b} & {=} & {-17} \end{array}\right.
{a=−4−3b=−17+8\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-4 } \\ {-3b} & {=} & {-17+8} \end{array}\right.
{a=−4−3b=−9\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-4 } \\ {-3b} & {=} & {-9} \end{array}\right.
{a=−4b=−9−3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-4 } \\ {b} & {=} & {\frac{-9}{-3}} \end{array}\right.
{a=−4b=3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-4 } \\ {b} & {=} & {3} \end{array}\right.
Il en résulte donc que la fonction h(x)=−4x+3h\left(x\right)=-4x+3 est une solution particulière de (E)\left(E\right) .
Question 2

Résoudre alors l'équation (E)\left(E\right) .

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+fy'=\red{a}y+\purple{f} où aa est un réel avec a≠0a\ne 0 et f\purple{f} une fonction définie sur un intervalle II .
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : m(x)=keax+z(x)m\left(x\right)=ke^{\red{a}x}+z\left(x\right) où
    la fonction x↦keaxx\mapsto ke^{\red{a}x} est solution de l'équation y′=ayy'=\red{a}y avec kk est une constante réelle
    et la fonction zz une solution particulière de l'équation y′=ay+fy'=ay+f .
    • Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle 2y′−3y=12x−172y'-3y=12x-17. Suite au rappel, ci dessous, nous écrivons : y′=32y+12x2−172y'=\red{\frac{3}{2}}y+\purple{\frac{12x}{2}-\frac{17}{2}}
    A l'aide de la question 11, nos avons obtenu une solution particulière de l'équation (E)\left(E\right) . Il ne nous reste plus qu'à déterminer les solution de l'équation y′=32yy'=\red{\frac{3}{2}}y qui ne sont autre que les fonctions x↦ke32xx\mapsto ke^{\red{\frac{3}{2}}x} où k∈Rk\in \mathbb{R} .
    Finalement, les solutions de l'équation (E)\left(E\right) sont donc les fonctions définies sur R\mathbb{R} par m(x)=ke32x+h(x)m\left(x\right)=ke^{\red{\frac{3}{2}}x}+h\left(x\right) c'est à dire m(x)=ke32x−4x+3m\left(x\right)=ke^{\red{\frac{3}{2}}x}-4x+3 où k∈Rk\in \mathbb{R}

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