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Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+by'=ay+b - Exercice 2

10 min
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Question 1

Résoudre, sur R\mathbb{R}, l'équation différentielle suivante : 4y′+20y+8=04y'+20y+8=0

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ay+by'=ay+b. Ainsi :
    4y′+20y+8=04y'+20y+8=0 équivaut successivement à :
    4y′=−20y−84y'=-20y-8
    y′=−204y−84y'=\frac{-20}{4} y-\frac{8}{4}
    y′=−5y−2y'=-5y-2
    On identifie ici que : a=−5a=-5 et b=−2b=-2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−5x−(−2)(−5)f\left(x\right)=ke^{-5x} -\frac{\left(-2\right)}{\left(-5\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−5x−25f\left(x\right)=ke^{-5x} -\frac{2}{5}
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    Résoudre, sur R\mathbb{R}, l'équation différentielle suivante : 2y′+18y−5=02y'+18y-5=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ay+by'=ay+b. Ainsi :
    2y′+18y−5=02y'+18y-5=0 équivaut successivement à :
    2y′=−18y+52y'=-18y+5
    y′=−182y+52y'=\frac{-18}{2} y+\frac{5}{2}
    y′=−9y+52y'=-9y+\frac{5}{2}
    On identifie ici que : a=−9a=-9 et b=52b=\frac{5}{2}.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−9x−(52)(−9)f\left(x\right)=ke^{-9x} -\frac{\left(\frac{5}{2}\right)}{\left(-9\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−9x+518f\left(x\right)=ke^{-9x} +\frac{5}{18}
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    Résoudre, sur R\mathbb{R}, l'équation différentielle suivante : 3y′−y+2=03y'-y+2=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ay+by'=ay+b. Ainsi :
    3y′−y+2=03y'-y+2=0 équivaut successivement à :
    3y′=y−23y'=y-2
    y′=13y−23y'=\frac{1}{3} y-\frac{2}{3}
    On identifie ici que : a=13a=\frac{1}{3} et b=−23b=-\frac{2}{3}.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke13x−(−23)(13)f\left(x\right)=ke^{\frac{1}{3}x} -\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)}{\left(\frac{1}{3}\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke13x+2f\left(x\right)=ke^{\frac{1}{3}x} +2
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    Résoudre, sur R\mathbb{R}, l'équation différentielle suivante : y′=3y−45y'=\frac{3y-4}{5}

    Correction
    L'équation y′=3y−45y'=\frac{3y-4}{5} peut également s'écrire : y′=35y−45y'=\frac{3}{5}y-\frac{4}{5} .
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=35a=\frac{3}{5} et b=−45b=-\frac{4}{5}.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke35−(−45)35f\left(x\right)=ke^{\frac{3}{5}} -\frac{\left(-\frac{4}{5}\right)}{\frac{3}{5}} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke35x+43f\left(x\right)=ke^{\frac{3}{5}x}+\frac{4}{3}
    où kk est une constante réelle.

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