Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+by'=ay+b avec une condition - Exercice 4

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On considère (E)\left(E\right) l'équation différentielle suivante : y′=−6y+2y'=-6y+2 .
Question 1

Déterminer la fonction ff solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) telle que la courbe de ff au point d'abscisse 11 admet une tangente de coefficient directeur 44 .

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=−6a=-6 et b=2b=2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−6x−2(−6)f\left(x\right)=ke^{-6x} -\frac{2}{\left(-6\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke−6x+13f\left(x\right)=ke^{-6x}+\frac{1}{3} où kk est une constante réelle .
    D'après les hypothèses, nous savons que la courbe de ff au point d'abscisse 11 admet une tangente de coefficient directeur 44 . Cela se traduit par f′(1)=4f'\left(1\right)=4.
    Nous allons commencer par calculer la dérivée de f(x)=ke−6x−2(−6)f\left(x\right)=ke^{-6x} -\frac{2}{\left(-6\right)} qui donne f′(x)=−6ke−6xf'\left(x\right)=-6ke^{-6x}.
    Ainsi :
    f′(1)=4f'\left(1\right)=4 équivaut successivement à :
    −6ke−6×1=4-6ke^{-6\times 1} =4
    −6ke−6=4-6ke^{-6} =4
    k=4−6e−6k=\frac{4}{-6e^{-6} }
    k=−23e−6k=-\frac{2}{3e^{-6} }
    k=−23e6k=-\frac{2}{3} e^{6}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=−6y+2y'=-6y+2 telle que la courbe de ff au point d'abscisse 11 admet une tangente de coefficient directeur 44 est alors :
    f(x)=−23e6×e−6x+13f\left(x\right)=-\frac{2}{3} e^{6}\times e^{-6x}+\frac{1}{3}

    Nous pouvons simplifier l'expression ff en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Cela donne alors :
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    f(x)=−23e−6x+6+13f\left(x\right)=-\frac{2}{3} e^{-6x+6}+\frac{1}{3}

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