Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+by'=ay+b avec une condition - Exercice 2

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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′−2y+10=0y'-2y+10=0 tel que f(0)=2f\left(0\right)=2

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ay+by'=ay+b. Ainsi:
    y′−2y+10=0y'-2y+10=0 équivaut successivement à :
    y′=2y−10y'=2y-10
    On identifie ici que : a=2a=2 et b=−10b=-10.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke2x−(−10)2f\left(x\right)=ke^{2x} -\frac{\left(-10\right)}{2} où kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke2x+5f\left(x\right)=ke^{2x}+5 où kk est une constante réelle
    Or on sait que f(0)=2f\left(0\right)=2 , il vient alors que :
    f(0)=2f\left(0\right)=2 équivaut successivement à :
    ke2×0+5=2ke^{2\times 0}+5=2
    ke0+5=2ke^{0}+5=2 or e0=1e^{0}=1
    k+5=2k+5=2
    k=2−5k=2-5
    D'où : k=−3k=-3
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′−2y+10=0y'-2y+10=0 tel que f(0)=2f\left(0\right)=2 est alors :
    f(x)=−3e2x+5f\left(x\right)=-3e^{2x}+5

    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=2y+2y'=2y+2 tel que f(2)=10f\left(2\right)=10

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=2a=2 et b=2b=2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke2x−22f\left(x\right)=ke^{2x} -\frac{2}{2} où kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke2x−1f\left(x\right)=ke^{2x}-1 où kk est une constante réelle
    Or on sait que f(2)=10f\left(2\right)=10 , il vient alors que :
    f(2)=10f\left(2\right)=10 équivaut successivement à :
    ke2×2−1=10ke^{2\times 2}-1=10
    ke4=10+1ke^{4}=10+1
    ke4=11ke^{4}=11
    k=11e4k=\frac{11}{e^{4}}
    • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=11e−4k=11e^{-4}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=2y+2y'=2y+2 tel que f(2)=10f\left(2\right)=10 est alors :
    f(x)=11e−4×e2x−1f\left(x\right)=11e^{-4}\times e^{2x}-1 que l'on peut écrire :
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    f(x)=11e2x−4−1f\left(x\right)=11e^{2x-4}-1

    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=4y+8y'=4y+8 tel que f(4)=−1f\left(4\right)=-1

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=4a=4 et b=8b=8.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke4x−84f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{8}{4} où kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke4x−2f\left(x\right)=ke^{4x}-2 où kk est une constante réelle
    Or on sait que f(4)=−1f\left(4\right)=-1 , il vient alors que :
    f(4)=−1f\left(4\right)=-1 équivaut successivement à :
    ke4×4−2=−1ke^{4\times 4}-2=-1
    ke16=−1+2ke^{16}=-1+2
    ke16=1ke^{16}=1
    k=1e16k=\frac{1}{e^{16}}
    • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=1e−16k=1e^{-16}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=2y+2y'=2y+2 tel que f(2)=10f\left(2\right)=10 est alors :
    f(x)=1e−16×e4x−2f\left(x\right)=1e^{-16}\times e^{4x}-2 que l'on peut écrire :
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    f(x)=1e4x−16−2f\left(x\right)=1e^{4x-16}-2

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