Les classiques... en devoir - Exercice 3

Soit $$h\left(x\right)=a\cos \left(x\right)+b\sin \left(x\right)$$ où $$a$$ et $$b$$ sont des réels.
$$h$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et on a : $$h'\left(x\right)=-a\sin \left(x\right)+b\cos \left(x\right)$$ .
Comme $$h$$ est une solution de l'équation $$\left(E\right)$$, on a alors :
$$h'\left(x\right)=-9h\left(x\right)+25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)$$
$$-a\sin \left(x\right)+b\cos \left(x\right)=-9\times \left(a\cos \left(x\right)+b\sin \left(x\right)\right)+25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)$$
$$-a\sin \left(x\right)+b\cos \left(x\right)=-9a\cos \left(x\right)-9b\sin \left(x\right)+25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)$$
$$\red{-a}\sin \left(x\right)+\purple{b}\cos \left(x\right)=\left(\purple{-9a+25}\right)\cos \left(x\right)+\left(\red{-9b-21}\right)\sin \left(x\right)$$
Il faut donc résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\purple{b}} & {=} & {\purple{-9a+25}} \\ {\red{-a}} & {=} & {\red{-9b-21}} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-9a+25} \\ {-a} & {=} & {-9\times \left(-9a+25\right)-21} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-9a+25} \\ {-a} & {=} & {81a-225-21} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-9a+25} \\ {-a-81a} & {=} & {-246} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-9a+25} \\ {-82a} & {=} & {-246} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-9a+25} \\ {a} & {=} & {\frac{-246}{-82} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-9a+25} \\ {a} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-9\times 3+25} \\ {a} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-2} \\ {a} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que la fonction $$h\left(x\right)=3\cos \left(x\right)-2\sin \left(x\right)$$ est une solution particulière de $$\left(E\right)$$

$$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f'=-9f+25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)$$ c'est à dire que $$f'+9f=\red{25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)}$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$h'=-9h+25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)$$ que l'on peut aussi écrire : $$h'+9h=\red{25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)}$$
Comme $$f'+9f=25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)$$ et que $$h'+9h=25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right)$$ alors nous pouvons écrire que :
$$f'+9f=h'+9h$$
$$f'-h'=-9f+9h$$
$$\left(f-h\right)' =-9\left(f-h\right)$$
Il en résulte donc bien que $$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f-h$$ est une solution de $$y'=-9y$$ .

Nous allons déterminer les solutions de $$y'=-9y$$.
On identifie ici que : $$a=-9$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-9x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.
D'après la question précédente, $$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f-h$$ est une solution de $$y'=-9y$$
Comme $$f-h$$ est une solution de $$y'=-9y$$ .
Il en résulte donc que :
$$f\left(x\right)-h\left(x\right)=ke^{-9x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Ainsi :
$$f\left(x\right)=h\left(x\right)+ke^{-9x}$$
$$f\left(x\right)=3\cos \left(x\right)-2\sin \left(x\right)+ke^{-9x}$$
Les solutions de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions $$x \mapsto 3\cos \left(x\right)-2\sin \left(x\right)+ke^{-9x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.