Les classiques... en devoir - Exercice 2

Commençons par calculer la dérivée de la fonction $$h$$ .
$$h$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=ax+b$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=a$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x}$$.
Il vient alors que :
$$h'\left(x\right)=ae^{2x} +\left(ax+b\right)\times 2e^{2x}$$
D'où :
Comme $$h$$ est une solution de l'équation $$\left(E\right)$$, on a alors :
$$h'\left(x\right)=h\left(x\right)+\left(x+1\right)e^{2x}$$
$$ae^{2x} +2axe^{2x} +2be^{2x} =\left(ax+b\right)e^{2x} +\left(x+1\right)e^{2x}$$
$$ae^{2x} +2axe^{2x} +2be^{2x} =axe^{2x} +be^{2x} +xe^{2x} +e^{2x}$$
$$\left(a+2ax+2b\right)e^{2x} =\left(ax+b+x+1\right)e^{2x}$$
$$a+2ax+2b=ax+b+x+1$$
$$2ax+a+2b=\left(a+1\right)x+b+1$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2a} & {=} & {a+1} \\ {a+2b} & {=} & {b+1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2a-a} & {=} & {1} \\ {a+2b} & {=} & {b+1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {a+2b} & {=} & {b+1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {1+2b} & {=} & {b+1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {2b-b} & {=} & {1-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que la fonction $$h\left(x\right)=xe^{2x}$$ est une solution particulière de $$\left(E\right)$$

$$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f'=f+\left(x+1\right)e^{2x}$$ c'est à dire que $$f'-f=\red{\left(x+1\right)e^{2x}}$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$h'=h+\left(x+1\right)e^{2x}$$ que l'on peut aussi écrire : $$h'-h=\red{\left(x+1\right)e^{2x}}$$
Comme $$f'-f=\red{\left(x+1\right)e^{2x}}$$ et que $$h'-h=\red{\left(x+1\right)e^{2x}}$$ alors nous pouvons écrire que :
$$f'-h'=f-h$$
$$\left(f-h\right)'=\left(f-h\right)$$
Il en résulte donc bien que $$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f-h$$ est une solution de $$y'=y$$ .

Nous allons déterminer les solutions de $$y'=y$$.
On identifie ici que : $$a=1$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.
D'après la question précédente, $$f$$ est une solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f-h$$ est une solution de $$y'=y$$
Comme $$f-h$$ est une solution de $$y'=y$$ .
Il en résulte donc que :
$$f\left(x\right)-h\left(x\right)=ke^{x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Ainsi :
$$f\left(x\right)=h\left(x\right)+ke^{x}$$
$$f\left(x\right)=xe^{2x}+ke^{x}$$
Les solutions de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions $$x \mapsto xe^{2x}+ke^{x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.

Soit $$g\left(x\right)=xe^{2x}+ke^{x}$$ tel que $$g\left(0\right)=7$$ .
Il en résulte donc que :
$$g\left(0\right)=7$$ équivaut successivement à :
$$0\times e^{2\times 0} +ke^{0} =7$$
$$ke^{0} =7$$
Ainsi :
La solution $$g$$ de l'équation $$\left(E\right)$$ vérifiant la contrainte $$g\left(0\right)=7$$ s'écrit alors