Epreuve d'enseignement de spécialité Session 9 Juin 2021 Exercice B - Exercice 1

$$g$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici $$u\left(x\right)=-\frac{1}{3} x$$ et donc $$u'\left(x\right)=-\frac{1}{3}$$.
$$g'\left(x\right)=2\times\left(-\frac{1}{3}\right)e^{-\frac{1}{3} x} +\frac{2}{3}$$
D'où

Il nous faut étudier sur $$\mathbb{R}$$ le signe de $$g'\left(x\right)=-\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{3} x} +\frac{2}{3}$$ .
Il vient alors que :
$$-\frac{2}{3} e^{-\frac{1}{3} x} +\frac{2}{3}\ge 0$$
$$-\frac{2}{3} e^{-\frac{1}{3} x} \ge -\frac{2}{3}$$
$$e^{-\frac{1}{3} x} \le \frac{-\frac{2}{3} }{-\frac{2}{3} }$$
$$e^{-\frac{1}{3} x} \le 1$$
$$e^{-\frac{1}{3} x} \le e^{0}$$
$$-\frac{1}{3} x\le 0$$
$$x\ge \frac{0}{\left(-\frac{1}{3} \right)}$$
$$x\ge 0$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;0\right]$$ alors $$g'\left(x\right)\le0$$ et donc $$g$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[0;+\infty\right[$$ alors $$g'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$g$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

D'après le tableau de variation obtenu à la question $$3$$, on vérifie aisément que la fonction $$g$$ admet un minimum valant $$0$$ lorsque $$x=0$$.
Il ne résulte donc que, pour tout réel $$x$$, on a : $$g\left(x\right)\ge 0$$ .

L’équation différentielle $$\left(E\right)$$ s'écrit :
$$3y'+y=0\Leftrightarrow 3y'=-y\Leftrightarrow y'=-\frac{1}{3} y$$ On identifie ici que : $$a=-\frac{1}{3}$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$p\left(x\right)=ke^{-\frac{1}{3}x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.

D'après la question précédente, nous avons montré que : où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$p\left(0\right)=2$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{-\frac{1}{3}\times0}=2$$ équivaut successivement à :
$$ke^{0}=2$$ . Nous savons que $$e^{0}=1$$ .
$$k=2$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=-\frac{1}{3} y$$ tel que $$p\left(0\right)=2$$ est alors :

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=2\times\left(-\frac{1}{3}\right)e^{-\frac{1}{3} x}$$
$$f'\left(x\right)=\left(-\frac{2}{3}\right)e^{-\frac{1}{3} x}$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(0\right)$$
$$f\left(0\right)=2e^{-\frac{1}{3} \times0}$$
$$f\left(0\right)=2$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(0\right)$$
$$f'\left(x\right)=\left(-\frac{2}{3}\right)e^{-\frac{1}{3} \times0}$$
$$f'\left(1\right)=-\frac{2}{3}$$
$$\red{4}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(0\right)$$ et de $$f'\left(0\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
$$y=\left(-\frac{2}{3}\right)\times \left(x-0\right)+2$$
$$y=-\frac{2}{3}x+2$$
Ainsi l'équation de la tangente $$\Delta_{0}$$ à la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors $$y=-\frac{2}{3}x+2$$.

Pour étudier la position de cette courbe $$\mathscr{C_f}$$ par rapport à la tangente $$\left(\Delta_{0}\right)$$, il faut étudier le signe de la fonction ci-dessous :
$$d\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(-\frac{2}{3} x+2\right)$$
$$d\left(x\right)=2e^{-\frac{1}{3} x} -\left(-\frac{2}{3} x+2\right)$$
$$d\left(x\right)=2e^{-\frac{1}{3} x} +\frac{2}{3} x-2$$
Ainsi :
D'après la question $$3$$, nous avons vérifié que pour tout réel $$x$$, on a : $$g\left(x\right)\ge 0$$ .
Il en résulte donc que :
$$d\left(x\right)\ge 0$$
On peut donc écrire que :
$$f\left(x\right)-\left(-\frac{2}{3} x+2\right)\ge 0$$
$$f\left(x\right)\ge -\frac{2}{3} x+2$$
Finalement, la fonction $$f$$ est alors au-dessus de la tangente $$\left(\Delta_{0}\right)$$.

Nous savons que $$f\left(x\right)=2e^{-\frac{1}{3} x}$$ et $$f'\left(x\right)=-\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{3} x}$$
Il vient alors que :
$$y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$
$$y=-\frac{2}{3} e^{-\frac{1}{3} a} \left(x-a\right)+2e^{-\frac{1}{3} a}$$
Or la tangente doit couper l'axe des abscisses en un point $$P$$. Cela signifie que l'ordonnée du point $$P$$ est nulle, autrement dit $$y=0$$.
On peut alors écrire :
$$-\frac{2}{3} e^{-\frac{1}{3} a} \left(x-a\right)+2e^{-\frac{1}{3} a} =0$$
$$-\frac{2}{3} e^{-\frac{1}{3} a} \left(x-a\right)=-2e^{-\frac{1}{3} a}$$
$$\frac{2}{3} e^{-\frac{1}{3} a} \left(x-a\right)=2e^{-\frac{1}{3} a}$$
$$\frac{2}{3} \left(x-a\right)=2\frac{e^{-\frac{1}{3} a} }{e^{-\frac{1}{3} a} }$$
$$\frac{2}{3} \left(x-a\right)=2$$
$$x-a=\frac{2}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x-a=2\times \frac{3}{2}$$
$$x-a=3$$
Ainsi :
Nous venons de montrer que la tangente $$\left(\Delta_{a}\right)$$ à la courbe $$\mathscr{C_f}$$ au point $$A$$ coupe bien l’axe des abscisses en un point $$P$$ d’abscisse $$a +3$$.