Epreuve d'enseignement de spécialité centres étrangers 5 juin 2024 - Exercice 1

Soit $$p(x)=k$$ une fonction constante définie sur $$\mathbb{R}$$ solution de $$\left(E_0\right)$$.
$$p$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et l'on a : $$p'(x)=0$$
$$p$$ est solution de de l'équation différentielle $$\left(E_0\right)$$ si et seulement si $$p'(x)=p(x)$$ .
Il vient alors que $$0=k$$.
L'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $$\left(E_0\right)$$ est donc la fonction nulle.

On considère l'équation différentielle $$\left(E_0\right): \quad y^{\prime}=y$$ où $$y$$ est une fonction dérivable de la variable réelle $$x$$.On identifie ici que : $$a=1$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.

Soit la fonction $$h$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$h(x)=2 \cos (x)+\sin (x)$$ .
$$h$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Pour tout réel $$x$$ on a donc : $$h^{\prime}(x)=-2 \sin (x)+\cos (x)$$
Maintenant vérifions si $$h(x)-\cos (x)-3 \sin (x)$$ est égale à $$h^{\prime}(x)$$ ce qui justifierait que la fonction $$h$$ est solution de l'équation différentielle $$(E)$$.
Il vient alors que :
$$h(x)-\cos (x)-3 \sin (x) =2 \cos (x)+\sin (x)-\cos (x)-3 \sin (x)$$
$$h(x)-\cos (x)-3 \sin (x) =\cos (x)-2 \sin (x)$$
$$h(x)-\cos (x)-3 \sin (x) =h^{\prime}(x)$$
Finalement : $$h$$ est solution de l'équation différentielle $$(E)$$

Premièrement : supposons que $$\red{f}$$ soit une solution de $$\red{\left(E\right)}$$.
D'une part : une fonction $$f$$ est solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f^{\prime}=f-\cos (x)-3 \sin (x)$$ . Notons $$(1)$$ cette équation .
D'autre part : d'après la question $$3$$, nous avons vérifier que $$h$$ est également une solution de l'équation $$\left(E\right)$$ ainsi $$h^{\prime}=h-\cos (x)-3 \sin (x)$$ . Notons $$(2)$$ cette équation .
Par soustraction membre à membre des égalités $$(1)$$ et $$(2)$$, on obtient pour tout réel $$x$$ :
$$f' -h' =f-\cos (x)-3 \sin (x)-\left(h-\cos (x)-3 \sin (x)\right)$$
$$f' -h' =f-\cos (x)-3 \sin (x)-h+\cos (x)+3 \sin (x)$$
$$f' -h' =f-h$$
Il en résulte donc que $$h-f$$ est solution de l'équation $$\left(E_0\right) : y' =y$$ .
Ainsi nous venons de montrer que $$h$$ est solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$f-h$$ est solution de $$\left(E_0\right)$$.
Deuxièmement : supposons maintenant que $$\red{f-h}$$ soit une solution de $$\red{\left(E_0\right)}$$.
Il vient alors que :
$$(f-h)^{\prime}(x)=f(x)-h(x)$$
$$f^{\prime}(x)-h^{\prime}(x)=f(x)-h(x)$$
$$f^{\prime}(x)-f(x)=h^{\prime}(x)-h(x)$$
D'après la question $$3$$ , la fonction $$h$$ est solution de l'équation différentielle $$(E)$$ autrement dit $$h(x)-h^{\prime}(x) =\cos (x)+3 \sin (x)$$
On alors :
$$f^{\prime}(x)-f(x)= \cos (x)+3 \sin (x)$$
$$f^{\prime}(x)=f(x)+ \cos (x)+3 \sin (x)$$
Il en résulte donc que $$f$$ est solution de $$(E)$$.
Ainsi nous venons de montrer que $$f-h$$ est solution de $$\left(E_0\right)$$ si et seulement si $$f$$ est solution de $$\left(E\right)$$.
Conclusion : $$f$$ est solution de $$(E)$$ si et seulement si $$f-h$$ est solution de $$\left(E_0\right)$$.

D'après la question $$2$$, nous avons montrer que où $$k$$ est une constante réelle est une solution de $$\left(E_0\right) : y'=y$$
De plus, d'après la question $$4$$, nous avons également montrer que $$f$$ est solution de $$(E)$$ est équivalent à $$f-h$$ est solution de $$\left(E_0\right)$$.
Ce qui nous permet d'écrire :
$$f(x)-h(x)=k \mathrm{e}^x$$ où $$k$$ est une constante réelle.
$$f(x)=k \mathrm{e}^x +h(x)$$ où $$k$$ est une constante réelle.
$$f(x)=k\mathrm{e}^x+2 \cos (x)+\sin (x)$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Les solutions de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme où $$k$$ est une constante réelle.

$$g$$ étant solution de l'équation différentielle $$(E)$$ il existe alors un réel $$k$$ tel que $$g(x)=k \mathrm{e}^x+2 \cos (x)+\sin (x)$$.
Comme $$g(0)=0$$ alors on peut écrire que :
$$k \mathrm{e}^0+2 \cos (0)+\sin (0)=0$$
$$k\times1+2\times1+0=0$$
$$k+2=0$$
$$k=-2$$
L'unique solution $$g$$ de l'équation différentielle $$(E)$$ telle que $$g(0)=0$$ s'écrit alors :

$$I =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2 \mathrm{e}^x+\sin (x)+2 \cos (x)\right) \mathrm{d} x$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[-2 \mathrm{e}^x-\cos (x)+2 \sin (x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$
$$I=-2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)-\left(-2 \mathrm{e}^0-\cos (0)+2 \sin (0)\right)$$
$$I=-2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-0+2 \times 1-(-2-1+2 \times 0)$$
$$I=-2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-0+2 \times 1-(-3)$$
$$I=-2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}+2+3$$
Ainsi :