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Epreuve d'enseignement de spécialité Centres étrangers 12 juin 2025 - Exercice 1

45 min

On considère l'équation différentielle

\left(E_1\right): \quad y^{\prime}+0,48 y=\frac{1}{250}

où

y

est une fonction de la variable

t

appartenant à l'intervalle

[0 ;+\infty[

Question 1

On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par $h(t)=\frac{1}{120}$ .
Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ .

Correction

On a

h(t)=\frac{1}{120}

donc

h^{\prime}(t)=0

.
Si

h

est solution de l'équation différentielle

\left(E_1\right)

alors

h'(t)+0,48 h(t)=\frac{1}{250}

Calculons

h'(t)+0,48 h(t)

.
Il vient que :

h'(t)+0,48 h(t)=0+0,48 \times \frac{1}{120}

h'(t)+0,48 h(t)= \frac{0,48}{120}

h'(t)+0,48 h(t)= 0,004

Ainsi :

h'(t)+0,48 h(t)=\frac{1}{250}

Donc

h

est bien solution de l'équation différentielle

\left(E_1\right)

Question 2

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y^{\prime}+0,48 y=0$ .

Correction

L'équation

y^{\prime}+0,48 y=0

peut également s'écrire

y^{\prime}=-0,48 y

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-0,48

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(t\right)=ke^{-0,48t}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(t\right)=ke^{-0,48t}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=\red{a}y+\purple{f}

où

a

est un réel avec

a\ne 0

\purple{f}

une fonction définie sur un intervalle

I

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

m\left(x\right)=ke^{\red{a}x}+z\left(x\right)

où
la fonction

x\mapsto ke^{\red{a}x}

est solution de l'équation

y'=\red{a}y

avec

k

est une constante réelle
et la fonction

z

une solution particulière de l'équation

y'=ay+f

D'après la question

1

, nous avons démontré que la fonction

h

est

\text{\red{une solution particulière}}

de l'équation différentielle

\left(E_1\right)

.
D'après la question

2

, nous avons montré la fonction

x\mapsto ke^{\red{-0,48}t}

est solution de l'équation

y'=\red{-0,48}y

avec

k

est une constante réelle
Finalement, les solutions de l'équation

\left(E_1\right)

sont donc les fonctions définies sur

\mathbb{R}

par

y\left(t\right)= \frac{1}{120}+k \mathrm{e}^{-0,48 t}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.
À un instant

t=0

, on introduit une population initiale de

30

000

bactéries dans le milieu. On note

p(t)

la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps

t

, exprimé en heure.
On a donc

p(0)=30

.
On admet que la fonction

p

définie sur l'intervalle

\left[0 ;+\infty\right[

est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle

\left(E_2\right)

p^{\prime}=\frac{1}{250} p \times(120-p)

Soit

y

la fonction strictement positive sur l'intervalle

\left[0 ;+\infty\right[

telle que, pour tout

t

appartenant à l'intervalle

\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.

, on a

p(t)=\frac{1}{y(t)}

Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_2\right)$ , alors $y$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_1\right): \quad y^{\prime}+0,48 y=\frac{1}{250}$ .

Correction

On a

p(t)=\frac{1}{y(t)}

. On rappelle que

y

est une fonction strictement positive sur l'intervalle

\left[0 ;+\infty\right[

p

est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur

\left[0 ;+\infty\right[

\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}

On considère une fonction

v

dérivable sur un intervalle

I

alors

\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }

Il vient alors que :

p^{\prime}(t)=-\frac{y^{\prime}(t)}{\left(y(t)\right)^2}

Supposons que

p

est solution de l'équation différentielle

\left(E_2\right)

, On a donc :

p'\left(t\right)=\frac{1}{250} p\left(t\right) \times(120-p\left(t\right))

p'\left(t\right)=\frac{120}{250} p\left(t\right) -\frac{1}{250} \left(p\left(t\right)\right)^2

p'\left(t\right)=0,48 p\left(t\right) -\left(p\left(t\right)\right)^2

. Or nous savons que

p(t)=\frac{1}{y(t)}

p^{\prime}(t)=-\frac{y^{\prime}(t)}{\left(y(t)\right)^2}

.
Il vient alors que :

-\frac{y^{\prime}(t)}{\left(y(t)\right)^2}=0,48\times \frac{1}{y(t)} -\frac{1}{250} \left(\frac{1}{y(t)}\right)^2

-\frac{y^{\prime}(t)}{\left(y(t)\right)^2}=\frac{0,48}{y(t)}-\frac{1}{250} \frac{1}{\left(y(t)\right)^2}

Nous mettons tout au même dénominateur :

-\frac{y^{\prime}(t)}{\left(y(t)\right)^2}=\frac{0,48\times y(t) }{y(t)\times y(t) }-\frac{1}{250} \frac{1}{\left(y(t)\right)^2}

-\frac{y^{\prime}(t)}{\red{\left(y(t)\right)^2}}=\frac{0,48y(t) }{\red{\left(y(t)\right)^2}}-\frac{1}{250} \frac{1}{\red{\left(y(t)\right)^2}}

Soient

A,B,C

des réels et

\red{D}

un réel non nul.
Si

\frac{A}{\red{D}}=\frac{B}{\red{D}}+\frac{C}{\red{D}}

alors

A=B+C

-y^{\prime}(t)=0,48y(t) -\frac{1}{250}

Ce qui nous donne :

y^{\prime}(t)=-0,48y(t) +\frac{1}{250}

que l'on écrit

y^{\prime}(t)+0,48y(t) =\frac{1}{250}

Donc

y

est solution de l'équation différentielle

\left(E_1\right): y^{\prime}+0,48 y=\frac{1}{250}

Question 5

On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle ( $E_1$ ), alors $p=\frac{1}{y}$ est solution de l'équation différentielle ( $E_2$ ).
Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\left[0 ;+\infty\right[$ , on a :
$p(t)=\frac{120}{1+K \mathrm{e}^{-0,48 t}} \text { avec } K \text { une constante réelle. }$

Correction

Nous avons vu d'après la question

3

que

y\left(t\right)= \frac{1}{120}+k \mathrm{e}^{-0,48 t}

est solution de (

E_1

).
On a donc :

p(t)=\frac{1}{y(t)}

p(t)=\frac{1}{\frac{1}{120}+k \mathrm{e}^{-0,48 t}}

p(t)=\frac{1}{\frac{1}{120}+\frac{120k \mathrm{e}^{-0,48 t}}{120}}

p(t)=\frac{1}{\frac{1+120k \mathrm{e}^{-0,48 t}}{120}}

$\frac{A}{\frac{B}{C} } =A\div \frac{B}{C}$

p(t)=\frac{120}{1+120 k \mathrm{e}^{-0,48 t}}

Posons maintenant

K

un réel tel que :

K=120k

On a donc :

p(t)=\frac{120}{1+K \mathrm{e}^{-0,48 t}}

où

K

un réel.

Question 6

En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$ .

Correction

On sait que

p(0)=30

\frac{120}{1+K \mathrm{e}^{-0,48\times0}}=30

équivaut successivement à

\frac{120}{1+K\mathrm{e}^{0} }=30

\frac{120}{1+K }=30

120=30\left(1+K\right)

120=30+30K

90=30K

\frac{90}{30}=K

Ainsi :

K=3

Question 7

Déterminer $\lim _{t \rightarrow+\infty} p(t)$ . En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

Correction

Nous savons maintenant que

p(t)=\frac{120}{1+3 \mathrm{e}^{-0,48 t}}

\left\{\begin{array}{l}\lim\limits_{t\to +\infty }-0,48 t=\red{-\infty} \\ \lim\limits_{x\to \red{-\infty }}\mathrm{e}^x=\blue{0}\end{array} \quad\right.

donc, par composition,

\lim _{t \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{-0,48 t}=\blue{0}

.
De plus :

\lim _{t \rightarrow+\infty} 1+3 e^{-0,48 t}=1

Finalement :

\lim _{t \rightarrow+\infty} p(t)=120

La population de la bactérie finira par se stabiliser autour de

120

000

, d’après le contexte de l’exercice.

Question 8

Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse $60$ $000$ individus.
On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.

Correction

Il nous faut résoudre l'inéquation :

p(t) \ge60

p(t) \ge60

équivaut successivement à :

\frac{120}{1+3 \mathrm{e}^{-0,48 t}}\ge60

\frac{1}{1+3 \mathrm{e}^{-0,48 t}}\ge\frac{1}{2}

. Nous allons composer par la fonction inverse qui est strictement décroissante sur

\left]0;+\infty\right[

, l'ordre ne sera pas conservé.

1+3 \mathrm{e}^{-0,48 t}\le2

3 \mathrm{e}^{-0,48 t}\le1

\mathrm{e}^{-0,48 t}\le\frac{1}{3}

. On compose par la fonction

\ln

qui est définie et strictement croissante sur

\left]0;+\infty\right[

, l'ordre sera conservé.

-0,48 t\le\ln \left(\frac{1}{3}\right)

-0,48 t\le-\ln (3)

t\ge\frac{\ln (3)}{0,48}

\frac{\ln (3)}{0,48}\approx 2,289

Il faudra donc

2,289

heures pour que la population de bactéries dépasse

60

000

individus.
Nous avons connaissance du fait qu'une heure est égale à

60

minutes ainsi

0,289

heure est égale à

0,289\times60\approx17

minutes
Soit environ

2

heures et

17

minutes.
Il faudra donc

2

heures et

17

minutes pour que la population de bactéries dépasse

60

000

individus.

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Epreuve d'enseignement de spécialité Centres étrangers 12 juin 2025 - Exercice 1

On considère la fonction constante hhh définie sur l'intervalle [0;+∞[[0 ;+\infty[[0;+∞[ par h(t)=1120h(t)=\frac{1}{120}h(t)=1201​.Montrer que la fonction hhh est solution de l'équation différentielle (E1)\left(E_1\right)(E1​).

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle y′+0,48y=0y^{\prime}+0,48 y=0y′+0,48y=0.

En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E1)\left(E_1\right)(E1​).

Montrer que si ppp est solution de l'équation différentielle (E2)\left(E_2\right)(E2​), alors yyy est solution de l'équation différentielle (E1):y′+0,48y=1250\left(E_1\right): \quad y^{\prime}+0,48 y=\frac{1}{250}(E1​):y′+0,48y=2501​.

En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de KKK.

Déterminer lim⁡t→+∞p(t)\lim _{t \rightarrow+\infty} p(t)t→+∞lim​p(t). En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse 606060 000000000 individus.On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.

On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par $h(t)=\frac{1}{120}$ .
Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ .

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y^{\prime}+0,48 y=0$ .

En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ .

Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_2\right)$ , alors $y$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_1\right): \quad y^{\prime}+0,48 y=\frac{1}{250}$ .

En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$ .

Déterminer $\lim _{t \rightarrow+\infty} p(t)$ . En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse $60$ $000$ individus.
On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.