Epreuve d'enseignement de spécialité Amérique du Sud 21 novembre 2024 - Exercice 1

$$g$$ est solution de $$(E)$$ si et seulement si : $$g'\left(x\right)+\frac{1}{4} g\left(x\right)=20 \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$
$$g$$ est dérivable sur $$\left[0 ;+\infty\right[$$
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'}$$ avec $$u\left(x\right)=a x$$ et $$v\left(x\right)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=a$$ et $$v'\left(x\right)=-\frac{1}{4}\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$.
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=a \red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}+a x \times\left(-\frac{1}{4}\right) \red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}$$ . Nous allons maintenant factoriser par $$\red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}$$. Ce qui nous donne :
$$g'\left(x\right)=\red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}\left(a+a x \times\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$
$$g'\left(x\right)=\red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}\left(a-\frac{a x}{4}\right)$$
Calculons maintenant $$g'\left(x\right)+\frac{1}{4} g\left(x\right)$$. Il s'ensuit que :
$$g'\left(x\right)+\frac{1}{4} g\left(x\right)=\red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}\left(a-\frac{a x}{4}\right)+\frac{1}{4} \times a x \red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}$$ . Nous allons maintenant à nouveau factoriser par $$\red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}$$.
$$g'\left(x\right)+\frac{1}{4} g\left(x\right)=\red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}\left(a-\frac{a x}{4}+\frac{1}{4} \times a x\right)$$
$$g'\left(x\right)+\frac{1}{4} g\left(x\right)=\red{\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}}\left(a-\frac{a x}{4}+\frac{a x}{4}\right)$$
Ainsi :
Or d'après les hypothèses nous savons que $$g'\left(x\right)+\frac{1}{4} g\left(x\right)=20 \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$.
Par conséquent, cela donne $$a \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}x}=20 \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$ et on peut alors conclure que $$a=20$$ .
Finalement, ma fonction $$g\left(x\right)=20x \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$ définie sur l'intervalle $$\left[0 ;+\infty\right[$$ est une solution particulière de l'équation $$(E)$$.

Nous avons : $$\left(E^{\prime}\right): \quad y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$$ que l'on peut écrire $$y^{\prime}=-\frac{1}{4} y$$
On identifie ici que : $$a=-\frac{1}{4}$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$h\left(x\right)=ke^{-\frac{1}{4}x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.

D'une part : $$f$$ est solution de $$(E)$$ si et seulement si : $$f'\left(x\right)+\frac{1}{4} f\left(x\right)=20 \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$ . Notons $$(1)$$ cette équation .
D'autre part : d'après la question $$1$$, nous avons vérifier que $$g$$ est également une solution de l'équation $$g'\left(x\right)+\frac{1}{4} g\left(x\right)=20 \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$. Notons $$(2)$$ cette équation .
Par soustraction membre à membre des égalités $$(1)$$ et $$(2)$$, on obtient pour tout réel $$x$$ :
$$f'\left(x\right)+\frac{1}{4} f\left(x\right)-g'\left(x\right)-\frac{1}{4} g\left(x\right)=20 \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}-20 \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$
$$f'\left(x\right)+\frac{1}{4} f\left(x\right)-g'\left(x\right)-\frac{1}{4} g\left(x\right)=0$$
$$f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=\frac{1}{4}[f(x)-g(x)]$$
$$(f-g)^{\prime}(x)+\frac{1}{4}[(f-g](x)=0$$
Il en résulte donc que $$f-g$$ est solution de l'équation $$\left(E^{\prime}\right) : y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$$ .
D'après la question $$2$$, nous savons que les solutions de l'équation $$\left(E^{\prime}\right)$$ sont alors : $$h\left(x\right)=ke^{-\frac{1}{4}x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
On peut donc écrire :
$$f(x)-g(x)=k \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement :
Les solutions de $$(E)$$ sur l'intervalle $$\left[0 ;+\infty\right[$$ sont donc les fonctions $$f$$ définies par : $$f(x)=k \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}+20x \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$, avec $$k\in \mathbb{R}$$.

D'après la question précédente, nous savons que : $$f(x)=k \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}+20x \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}$$ avec $$k\in \mathbb{R}$$ et $$f(0)=8$$.
On a alors :
$$k \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}\times 0}+20\times 0\times \mathrm{e}^{-\frac{1}{4} \times 0}=8$$
D'où :
La solution $$f$$ de l'équation différentielle $$(E)$$ telle que $$f(0)=8$$ est alors