Valeur absolue et dérivée - Exercice 3

Pour déterminer l'expression de $$f\left(x\right)$$ sans les symboles de la valeur absolue, nous allons commencer par donner le tableau de signe de $$5x-50$$ . On ne s'intéresse ici qu'à l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
$$5x-50\ge 0\Leftrightarrow 5x\ge 50\Leftrightarrow x\ge \frac{50}{5} \Leftrightarrow x\ge 10$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$5x-50$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$10$$.
Ainsi, d'après le rappel :
$$\left|5x-50\right|=\left\{\begin{array}{ccc} {-\left(5x-50\right)} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {5x-50} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.$$
$$\left|5x-50\right|=\left\{\begin{array}{ccc} {-5x+50} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {5x-50} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.$$
Finalement :
$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {-3\times\left(-5x+50\right)} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {-3\times\left(5x-50\right)} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.$$
D'où :

D'après la question précédente, nous savons que :
$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {15x-150} & {\text{si}} & {x\le 10} \\ {-15x+150} & {\text{si}} & {x\ge 10} \end{array}\right.$$
Nous allons maintenant pouvoir déterminer la dérivée de $$f$$ . Il vient alors que :