Savoir préciser le domaine de dérivabilité d'une fonction - Exercice 1

$$f$$ est une fonction polynôme du $$1$$^er degré, et plus précisément une fonction affine.
Par définition, les fonctions polynomiales sont dérivables sur $$\mathbb{R}$$ .
Il en résulte donc, que la fonction $$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .

$$g$$ est une fonction polynôme du $$3$$^ème degré.
Par définition, les fonctions polynomiales sont dérivables sur $$\mathbb{R}$$ .
Il en résulte donc, que la fonction $$g$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .

$$h$$ est une fonction irrationnelle que l'on appelle également fonction racine carrée.
Par définition, les fonctions racines carrées sont dérivables pour toutes les valeurs où le radical est $$\text{\red{{strictement positif}}}$$.
On appelle radical la fonction qui est sous la racine carrée. Dans notre cas, le radical est ici $$2x-1$$ .
Il en résulte donc que $$h$$ est dérivable si et seulement si :
$$2x-1>0$$ équivaut successivement à :
$$2x>1$$
$$x>\frac{1}{2}$$
Il vient alors que la fonction $$h$$ est dérivable sur $$\left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[$$ .

$$f$$ est une fonction inverse. Les fonctions inverses sont dérivables pour les valeurs hormis celles qui annulent le dénominateur .
Nous avons donc le dénominateur qui s'annule pour $$x=0$$ .
Il en résulte donc que $$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}^{*}$$

$$k$$ est une fonction rationnelle (c'est sous forme d'un quotient avec du $$x$$ au dénominateur).
Les fonctions rationnelles sont dérivables pour les valeurs hormis celles qui annulent le dénominateur .
Cherchons donc à savoir les valeur qui annulent le dénominateur $$2x-8$$.
$$2x-8=0$$
$$2x=8$$
$$x=\frac{8}{2}$$
$$x=4$$
Autrement dit $$x=4$$ est une valeur où $$k$$ n'est pas dérivable.
Il en résulte donc que $$k$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{4\right\}$$