Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

Nous savons que $$\mathscr{C_{f}}$$ passe par l'origine du repère ce qui signifie que $$f\left(0\right)=0$$ .
Il vient alors que :
$$f\left(0\right)=0$$
$$a\times 0^{2} +b\times 0+c=0$$
Ce qui donne :

La droite d'équation $$y=8x-2$$ est tangente à $$\mathscr{C_{f}}$$ au point d'abscisse $$1$$. Cela signifie qu'au point $$A$$ la droite et la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ sont confondues. C'est à dire que le point $$A$$ appartient à la droite et à la courbe .
L'abscisse du point $$A$$ est $$1$$ et comme le point $$A$$ appartient à la droite alors on peut écrire que :
$$y_{A}=8x_{A}-2$$
$$y_{A}=8\times 1-2$$
$$y_{A}=8-2$$
$$y_{A}=6$$
Les coordonnées du point $$A$$ sont alors : $$A\left(1;6\right)$$

D'après la question précédente, nous savons que les coordonnées du point $$A$$ sont $$A\left(1;6\right)$$ .
Nous pouvons donc écrire que $$f\left(1\right)=6$$
Ce qui se traduit par :
$$a\times 1^{2} +b\times 1+c=6$$
$$a +b+c=6$$ et comme $$c=0$$ d'après la question $$1$$ alors :

De plus, la droite d'équation $$y=8x-2$$ est tangente à la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ au point d'abscisse $$1$$. Cela se traduit par $$f'\left(1\right)=8$$ .
En effet, le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $$1$$ correspond au nombre dérivée.
Comme $$f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$$ alors :
$$f'\left(x\right)=2\times {ax}+b$$ d'où $$f'\left(x\right)=2ax+b$$
Or $$f'\left(1\right)=8$$ va donc permettre d'écrire que $$2a\times 1+b=8$$ c'est à dire :
Nous avons donc un système deux équations à deux inconnues . $$\left\{\begin{array}{ccc} {a+b} & {=} & {6} \\ {2a+b} & {=} & {8} \end{array}\right.$$ Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode par substitution. Pour cela, on cherche une inconnue dont le coefficient vaut $$1$$. Ici, à la première ligne du système nous avons $${\color{red}b}$$. Nous allons donc exprimer $$b$$ en fonction de $$a$$. Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}b}} & {=} & {6-a} \\ {2a+b} & {=} & {8} \end{array}\right.$$ . Nous allons maintenant remplacer $$b$$ par $$6-a$$ dans la deuxième ligne .
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {6-a} \\ {2a+6-a} & {=} & {8} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {6-a} \\ {a+6} & {=} & {8} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {6-a} \\ {a} & {=} & {8-6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {6-a} \\ {a} & {=} & {2} \end{array}\right.$$ . Maintenant, nous connaissons la valeur de $$a$$, il suffit de remplacer dans la première ligne le $$a$$ par $$2$$. Il vient :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {6-2} \\ {a} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {4} \\ {a} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Le couple solution du système est alors :
Nous connaissons maintenant les valeurs de $$a$$, $$b$$ et $$c$$ . Nous pouvons donc écrire que :