Les dérivées composées : La forme $$\sqrt{u}$$ - Exercice 3

D'après l'énoncé, on sait que $$f$$ est dérivable sur $$I$$.
On pose : $$g\left(x\right)=\frac{1+x}{1-x}$$
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=1+x$$ et $$v\left(x\right)=1-x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=-1$$
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=\frac{1\times \left(1-x\right)-\left(1+x\right)\times \left(-1\right)}{\left(1-x\right)^{2} }$$
$$g'\left(x\right)=\frac{1-x-\left(-1-x\right)}{\left(1-x\right)^{2} }$$
$$g'\left(x\right)=\frac{1-x+1+x}{\left(1-x\right)^{2} }$$
$$g'\left(x\right)=\frac{2}{\left(1-x\right)^{2} }$$
Nous pouvons maintenant calculer la dérivée de $$f$$ .
Nous avons alors $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x} }$$ que l'on peut écrire $$f\left(x\right)=\sqrt{g\left(x\right)}$$ .
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=\frac{g'\left(x\right)}{2\sqrt{g\left(x\right)} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\dfrac{2}{\left(1-x\right)^{2} } }{2\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\dfrac{\red{\cancel{2}}}{\left(1-x\right)^{2} } }{\red{\cancel{2}}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\dfrac{1}{\left(1-x\right)^{2} } }{\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2} } \times \frac{1}{\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }$$
Finalement :

D'après l'énoncé, on sait que $$f$$ est dérivable sur $$I$$.
On pose : $$g\left(x\right)=\frac{3x-5}{4x+3}$$
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=3x-5$$ et $$v\left(x\right)=4x+3$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=4$$
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=\frac{3\times \left(4x+3\right)-\left(3x-5\right)\times 4}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$g'\left(x\right)=\frac{12x+9-\left(12x-20\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$g'\left(x\right)=\frac{12x+9-12x+20}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$g'\left(x\right)=\frac{29}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
Nous pouvons maintenant calculer la dérivée de $$f$$ .
Nous avons alors $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{3x-5}{4x+3} }$$ que l'on peut écrire $$f\left(x\right)=\sqrt{g\left(x\right)}$$ .
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=\frac{g'\left(x\right)}{2\sqrt{g\left(x\right)} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\dfrac{29}{\left(4x+3\right)^{2} } }{2\sqrt{\dfrac{3x-5}{4x+3} } }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{29}{2\left(4x+3\right)^{2} } \times \frac{1}{\sqrt{\dfrac{3x-5}{4x+3} } }$$
Finalement :