Exercices types : $$3$$^ème partie. Applications à l'économie - Exercice 1

POur répondre à cette question nous allons donner le sens de variation de la fonction $$C$$ .
$$C$$ est dérivable sur $$\left[0;10\right]$$.
On a : .
Il s'agit d'une équation du second degré. Nous allons utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =-8$$ . Donc $$\Delta<0$$. Il n'y a donc pas de solutions.
Comme $$a=1,5>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$C'$$ est alors du signe de $$a$$. Autrement dit, sur l'intervalle $$\left[0;10\right]$$ , nous aurons alors $$C'\left(x\right)>0$$.
Il vient alors que :

Pour étudier la convexité de la fonction $$C$$, il faut étudier le signe de $$C''$$.
$$C$$ est dérivable sur $$\left[0;10\right]$$.
Nous avons alors :
$$C'\left(x\right)=1,5x^{2}-8x+12$$ et enfin $$C''\left(x\right)=3x-8$$.
Ainsi :
$$3x-8\ge 0\Leftrightarrow 3x\ge 8\Leftrightarrow x\ge \frac{8}{3}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$3x-8$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$\frac{8}{3}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[0;\frac{3}{8}\right]$$ alors $$C''\left(x\right)\le0$$ et donc $$C$$ est concave sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[\frac{3}{8};10\right]$$ alors $$C''\left(x\right)\ge0$$ et donc $$C$$ est convexe sur cet intervalle.

Nous traduisons cela dans un tableau ci-dessous :

D'après la question $$2$$, nous savons que :
Il en résulte donc que $$C''\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{8}{3}$$ et d'après le tableau ci-dessus $$C''$$ change bien de signe lorsque $$x=\frac{8}{3}$$.
La fonction $$C$$ admet un point d'inflexion dont l'abscisse $$x=\frac{8}{3}$$.