Extremums - Exercice 3

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On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x3f\left(x\right)=x^{3} .
Question 1

Déterminer l'expression de la dérivée f′f' de ff .

Correction
On a :
f′(x)=3x2f'\left(x\right)=3x^{2}
Question 2

Calculer f′(0)f'\left(0\right) .

Correction
Soit f′(x)=3x2f'\left(x\right)=3x^{2} alors f′(0)=3×02f'\left(0\right)=3\times 0^{2} c'est à dire
f′(0)=0f'\left(0\right)=0
Question 3

La fonction ff admet-elle un extremum local en 00 .

Correction
Nous savons que f′(x)=3x2f'\left(x\right)=3x^{2}. Il en résulte donc que pour tout réel xx, f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 car un carré est positif ou nul.
Nous allons donc donner le tableau de signe de f′f' sur R\mathbb{R} .
    Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II et aa un réel de II .
  • Si f′f' s'annule en changeant de signe en aa, alors ff admet un extremum local en aa .
  • f′f' s'annule en 00 mais ne change pas de signe\text{\red{ne change pas de signe}} en 00 donc ff n'admet pas d'extremum local en 00.

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