Exercices types : Problèmes Optimisation - Exercice 2

Il nous faut calculer $$f\left(10\right)$$.
$$f\left(10\right)=10^{3}-90\times10^{2}+2625\times10-300$$

L'entreprise réalisera un bénéfice de $$17$$ $$950$$ euros pour une vente de $$10$$ licences.

Soit $$f\left(x\right)=x^{3}-90x^{2}+2625x-300$$ ; $$f$$ est dérivable sur $$\left[0;35\right]$$.
Il vient :
$$f'\left(x\right)=3\times x^{2}-90\times 2x+2625$$

Nous savons que pour tout réel $$x\in\left[0;35\right]$$ , on a : $$f'\left(x\right)=3 x^{2}-180x+2625$$ .
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$3 x^{2}-180x+2625$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=3$$; $$b=-180$$ et $$c=2625$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =900$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =25$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =35$$.

Comme $$a=3>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
De plus :

$$f\left(0\right)=0^{3}-90\times0^{2}+2625\times0-300=-300$$

$$f\left(25\right)=25^{3}-90\times25^{2}+2625\times25-300=24700$$

$$f\left(35\right)=35^{3}-90\times35^{2}+2625\times35-300=24200$$

D'après le tableau de variation précédent, on indique en rouge le maximum et sa valeur.
Ainsi l’entreprise doit fabriquer et vendre chaque semaine $$25$$ licences pour avoir un bénéfice maximal dont le montant sera de $$24$$ $$700$$ euros.