Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

20 min
40
Adam a tracé à l'aide de sa calculatrice, la courbe représentative de la fonction ff définie sur l'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right] par : f(x)=−x4+0,02x2+2f\left(x\right)=-x^{4}+0,02x^{2}+2 . Il conjecture que f(0)=2f\left(0\right)=2 est un maximum local de la fonction ff.
Question 1

Justifier que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right], on a : f′(x)=4x(0,1−x)(0,1+x)f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right) .

Correction
ff est dérivable sur [−1;1]\left[-1;1\right]
Ainsi : f′(x)=−4x3+0,04xf'\left(x\right)=-4x^{3}+0,04x
Nous allons développer l'expression 4x(0,1−x)(0,1+x)4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right) et nous allons vérifier si elle est bien égale à −4x3+0,04x-4x^{3}+0,04x. Il vient alors que :
4x(0,1−x)(0,1+x)=4x(0,12−x2)4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\left(0,1^{2} -x^{2} \right)
4x(0,1−x)(0,1+x)=4x(0,01−x2)4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\left(0,01-x^{2} \right)
4x(0,1−x)(0,1+x)=4x×0,01−4x×x24x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=4x\times 0,01-4x\times x^{2}
4x(0,1−x)(0,1+x)=−4x3+0,04x4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)=-4x^{3}+0,04x
Finalement :
f′(x)=4x(0,1−x)(0,1+x)f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right)
Question 2

Etudier le signe de f′f' et dresser le tableau de variation de ff.

Correction
D'après la question précédente, nous savons que f′(x)=4x(0,1−x)(0,1+x)f'\left(x\right)=4x\left(0,1-x\right)\left(0,1+x\right). Nous allons étudier le signe de f′f' puis dresser les variations de ff.
Pour tout réel x∈[−1;1]x\in\left[-1;1\right], on a :
  • 4x≥0⇔x≥04x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0
  • 0,1−x≥0⇔−x≥−0,1⇔x≤−0,1−1⇔x≤0,10,1-x\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -0,1\Leftrightarrow x\le \frac{-0,1}{-1} \Leftrightarrow x\le 0,1
  • 0,1+x≥0⇔x≥−0,10,1+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge -0,1
    • Question 3

    La conjecture d'Adam est-elle vraie?

    Correction
    D'après le tableau de variation, la conjecture d'Adam n'est pas validée. En effet, f(0)=2f\left(0\right)=2 est un minimum local et non un maximum local de la fonction ff.
    Question 4

    Compléter le travail d’Adam en donnant tous les extrema locaux de la fonction ff.

    Correction
    Définition du cours :
  • ff possède un extremum local en x0x_{0} lorsque f′(x0)=0f'\left(x_{0}\right)=0 et change de signe en x0x_{0} ( c'est à dire que la fonction ff change de variation en x0x_{0} ).
    • Ainsi d'après le tableau de variation ci-dessous :
    La fonction ff possède :
  • deux maximums locaux : f(−0,1)=2,001f\left(-0,1\right)=2,001 et f(0,1)=2,001f\left(0,1\right)=2,001
  • un minimum local : f(0)=2f\left(0\right)=2

    • Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.